Статистика - Статей: 872588, Изданий: 948

Искать в "Математическая энциклопедия..."

ГРУППОВОЙ ОБЪЕКТ





категории - объект Xкатегории Стакой, что для любого множество морфизмов является группой, а соответствие - функтором из категории Св категорию групп (Gr). Гомоморфизмом Г. о. X в Г. о. У наз. такой морфизм категории С, что для любого соответствующее отображение является гомоморфизмом групп. Г. категории С; морфизмами в этой категории служат гомоморфизмы. Функтор устанавливает эквивалентность категории и категории представимых предпучков групп на категории С. В случае, когда значения функтора принадлежат подкатегории абелевых групп, Г. о. Xяаз. коммутативным, или абелевым. Если категория Собладает конечными произведениями и финальным объектом е, то Г. о. Xкатегории Сопределяются следующими свойствами.

Существуют морфизмы (умножение), (обращение) и (единица), к-рые удовлетворяют следующим аксиомам.

а) Ассоциативность. Диаграмма коммутативна.



б) Существование единичного элемента. Диаграмма коммутативна.



в) Существование обратного элемента. Диаграмма



коммутативна. Здесь всюду - канонический морфизм объекта X в финальный объект - диагональный морфизм.

В случае, когда Сесть категория множеств (Ens), Г. о. Xсуть в точности группы. Финальным объектом категории (Ens) является множество , состоящее из одного элемента е. Аксиома а) означает ассоциативность бинарной операции, задаваемой морфизмом . Морфизм есть отображение обращения, а морфизм есть отображение множества в X, образ к-рого равен единичному элементу в X.

Аналогичным способом можно определить кольцевой объект категории и вообще задать алгебраическую структуру на объекте категории (см. [2]).

Лит.:[1] Манин Ю. И., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 6; [2] Demazure M., Grot, hendieck A., Schemas en groupes, t. 1, В.- Hdlb.- N.Y., 1970. И. В. Долгачев.



Еще в энциклопедиях