* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 365 Далее, пусть ОР— прямая, перпендикулярная к плоскости единичных векторов ОА = а° ОВ=Ь° (рис. 80). Вращение вокруг прямой ОР на угол в 180° переводит векторы о и Ь° в векторы—в и—ft ; следовательно, это вращение должно переводить вектор йг*Ь° в вектор (—л°)*(—ft°)= = a°*ft° (см. (97)). т. е. оставлять вектор а°*Ь° на месте. Но это возможно лишь в том случае, если вектор a * ft принадлежит прямой ОР (т е. перпендикулярен векторам а и ft ). Отсюда вытекает, прежде всего, что «квадрат» а ° * а любого (единич ного) вектора равен нуль-вектору 0: У 0 0 0 0 0 0 0 и а°*а°=0. 0 0 (99) В самом деле, если вектор ft совпа дает с вектором о , то прямую ОР можно выбирать бесчисленным чи слом способов, и вектор а° * а°, ко торый должен принадлежать в с е м этим прямым, с необходимостью ока зывается нулевым. Далее, пусть с° J _ о ; тогда «произведение» а * равно fcf*°, где и° есть единичный вектор, перпендикулярный а и г°. Для определенности мы выберем ц° таким образом, чтобы из его колца вращение на 90° от вектора а° к векр 80. тору с наблюдалось проти. часо вой стрелки. Множитель X должен быть постоянным, т. е. одним и тем же для любой пары перпен дикулярных единичных векторов а и г : в самом деле, если а\ и с\ — два других единичных взаимно перпендикулярных вектора, то вращение, совмещающее пару а°, с° с парой а\. с\, переводит вектор Хи° в вектор Хи\> где а° есть единичный вектор, построенный по векторам а\ и с , в точ ности так же, как строится вектор и° по векторам а° и с*. Таким образом, имеем а ° * с ° = Х и ° . Х=const. (100) 0 0 0 И С в 0 0 0 0 Теперь остается только разложить любой единичный вектор ft по ьекторам в° и с , где вектор г° лежит в плоскости векторов о и ft и пер пендикулярен вектору а : 0 0 0 0 0 ft°=cos (ср. выше, стр. 337) 9 0 0 0 £ (а\ ft°)-a° + sin ^ (a . ft°). ft)-a° = Ma, H где X—постоянная величина. Аналогично этому решается и вопрос об определении тройного произ ведения (a ft, с) его свойствами ') Заметим в заключение, что, потребовав от «векторного произведения» a*ft выполнения условий ассоциативности по отношению к умножению ') Ср , например. 2—6 напечатанной в кн. 11 ЭЭМ статьи «Вектор ные пространства и линейные преобразования».