* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ 253 Руководствуясь соответствием (18), введём теперь операции сложения и умножения рациональных функций. А именно, если ri{X) -gi(xV Г * -&{х) (х) — две какие-нибудь алгебраические дроби из Р(х), то под ri(E)-f- j - r ( 0 мы будем подразумевать рациональную функцию, соответ­ ствующую сумме гi (х) -|- г (х) алгебраических дробей, а под г, ( £ ) s ( 0 будем подразумевать рациональную функцию, соответ­ ствующую произведению r (x)r^(x) алгебраических дробей. Наше определение операций сложения и умножения несколько расходится с обычным определением операций над функциями. Так, например, в нашем смысле 2 2 r l 1 )*-fzrr = £— g 1 (1—единица поля Р), \ нельзя считать равным (19) £•—I, а в обычном смысле (I—l) 'g_i Е, а в левой части 1 так как правая часть равенства (19) определена для всех значений ^ при Е=1 не определена. Итак, мы определили надлежащим образом операции сложения и умножения рациональных функций над полем Р . Покажем теперь, что в случае бесконечного поля Р алгебраическая и функциональ­ ная точки зрения на дробь в известном смысле слова совпадают. Точнее, покажем, что имеет место следующая Т е о р е м а 25. Если поле Р бесконечно, то множество раци­ ональных функций г(Е) над Р образует поле, изоморфное полю алгебраических дробей Р ( х ) . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть двум алгебраическим дробям л _ ft W г W ~ Ш -ftW соответствует одна и та же рациональная функция г(Е) над Р : Т г (х Л / s и х ) и r > ( J C ) ri(*)-*r(E), 2 Г (А;)-*./-(£). й Тогда г,(с) = г (с) для любого с из Р , не обращающего в нуль знаменатели g (х) и £ ( х ) дробей г (х) и r (jc). Но выше мы уже убедились, что в случае бесконечного поля Р такие алгебраиче­ ские дроби должны быть равны. Следовательно, r (x) = r^(x) и мы видим, что соответствие (18) является не только однозначным, но и взаимно однозначным. Далее, согласно самому определению суммы и произведения рациональных функций t 2 г 2 1 f riW + r (j )^r (E) + r,(«). г, (х) г (л) -v г, (0 г (Е). e f 1 г г