* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

132 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ 6 ФУНКЦИЙ не равны, так как g(x) обладает членом х -, не входящим в со­ став членов f{x). Из этого определения равенства многочленов вытекает, что мы можем всякий многочлен f(x) над R привести к виду /(х) = а -]-а х 0 1 + аъХ* + . . . -\-а„р (п — целое неотрицательное число), добавляя, в случае необходимости, члены с коэффициентами, рав­ ными нулю. В таком виде мы часто будем записывать многочлен. Согласно определению равенства многочленов имеем, в частности, что многочлен f(x) равен нулю (т. е. нулевому элементу кольца/?) лишь в том случае, когда все коэффициенты f(x) равны нулю. Та­ ким образом, если многочлен f(x) не равен нулю, то по меньшей мере один из его коэффициентов должен быть отличен от нуля. Обратимся теперь к действиям сложения и умножения много­ членов. Пусть f(x) = a -\-a x-\ a^-{... -\-а У?, {s i r п *<*)=ft + M + * t * + . . . + * * e m e m — два произвольных многочлена над R. Под их суммой мы будем подразумевать многочлен ^+й х-\-<1ъХ*-{х f(x)-\-g(x) . . . -b^fcX*, £ £ £ где к есть наибольшее из чисел пит, d = а - j - b \ при этом если п^>т, то следует полагать: Ъ — ... =Ь =0, а если п<^т, то следует полагать: a = ... =а = 0. Под произведением f(x)g(x) мы будем подразумевать много­ член Ш4гХ п n+i т д А + («А + а А) * + ... + ( а А + а A-i + + *А ) ** + + а Ь ^ , (А) п т где а = 0 при i^>n и bj = 0 при j^>m. Посмотрим теперь, что вытекает из этих определений суммы и произведения многочленов над R. Обозначим через R [х] множество всех многочленов от х над кольцом R. Мы утверждаем, что введённые нами действия сложе­ ния и умножения подчиняются основным алгебраическим законам. Точнее, имеет место следующая Т е о р е м а 1. Множество R [х] образует кольцо относительно сложения и умножения многочленов над R и притом кольцо ком­ мутативное. Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что, складывая или перемножая два каких-нибудь многочлена от неизвестного х с коэффициентами из R, мы всегда получаем однозначно многочлен от JC С коэффи£