* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
410' ловых триплетов, выраженные уравнения Во-первых, к этому привели замечательные ми (3), в которых параметры связаны со изыскания в области основ геометрии, ко отношениями (5). Пространство, в которое торые мы изложили выше. Замечательные мы этим путем превратили наше численное результаты логического и гноселогического многообразие, облалает геометрией Евклида. характера, которые этими изысканиями были Мы, таким образом, пришли к своеобраз достигнуты, с одной стороны, естественно, ным пространствам, в которых „точками" вызывали интерес к тому, как решаются служат комбинации чисел; этого рода про те же вопросы в области арифметики,— странства называют аналитическими, или а с другой стороны, как мы видим, они арифметическими. Имеющие в них местонепосредственно уперлись в арифметику. соотношения устанавливаются арифметиче Во-вторых, к тем же вопросам привели ским или алгебраическим путем; они имеют также задачи анализа чисто фактического, поэтому ту достоверность, какую имеет можно сказать, догматического характера. арифметика и ее развитие — алгебра, ана Как известно, со второй половины XVII ст. лиз. Логическая правильность евклидо начинается необычайный подъем в области вой, да и всякой другой геометрии уста математики и точного знания вообще. Идеи навливается арнфмети ой и анализом; гео Декарта к этому времени уже успели полу метрия имеет ту достоверность, какую чить полное развитие, а Лейбниц и Ньютон имеет арифметика. Во всей литературе все в эту пору заложили основы исчисления бес доказательства логической совместности конечно-малых (см.). Необычайно обильный постулатов и их независимости всегда без запас новых средств математического ис исключения устанавливаются средствами следования, который таился в идеях Лейб арифметики и анализа. Геометрия удостове ница и Ньютона, быстро разросся в мощное рение в логической правильности черпает здание математического анализа. Труды в арифметике. Учение об основаниях гео братьев Бернулли, Тэйлора, Стирлинга, метрии этим исчерпывается; все вопросы, Маклорена, Эйлера, Лагранжа, Лапласа, которые с этим связаны, переносят нас в Монжа, Лежандра, наконец, Коши, Гаусса область арифметики и анализа. Трудно ска и Якоби—дали такие средства математиче зать, кто из двух родных сестер — геомет ского исследования, по сравнению с кото рии и арифметики—старше; но в деле рыми творения древних геометров казались своего логического самоопределения гео детским лепетом. Но, как это часто бывает, метрия опирается на арифметику. сильный взмах научной волны выбросил 19. Обоснование арифметики и догма много нового материала, недостаточно про тический подход к Т. о. м. Счет несом веренного, недостаточно установленного. ненно .предшествовал созданию геометри Более того, углубленное исследование ста ческих понятий. Но значительное развитие ло обнаруживать прямые ошибки в трудах арифметика получила гораздо позже, не первоклассных геометров. Многие резуль жели геометрия (см. арифметика). При таты, представлявшиеся бесспорными, ока чина этого коренилась в крайней сложности зались справедливыми только в известных •систем нумерации, которыми пользовались пределах; от других пришлось и вовсе отка все древние народы. В непрерывных по заться. Самый метод бесконечно-малых по исках лучших средств счета, в стремлении своим особенностям представляет много справиться с практическими задачами, стояв искушений для поспешных выводов. Он шими перед арифметикой, в борьбе абади- требует очень тщательного обоснования, •стов и алгорифмиков (см. арифметика, III, чтобы его выводы действительно были без 453) вопросы логического обоснования ариф укоризненными; вне этого условия он метики стушевались. Арифметика не имела иногда приводит к нелепым результатам. своего Евклида; на это звание не могут Это обстоятельство порождало в первые претендовать ни Эратосфен, ни Никомах, десятилетия непримиримых врагов нового ни арабские алгебраисты, ни Леонард Пизан- исчисления, в числе которых были такие ский, ни Лука Пачиоли. Учение о делимо выдающиеся математики, как Каталан и сти целых чисел есть единственный вопрос, Ролль. Позднее, когда анализ развернулся, который получил в древности теоретиче никто не мог огульно отрицать его значе скую разработку и притом в тех же ния; но тем сильнее становилась тенден „Началах* Евклида, в геометрической фор ция подвергнуть новые методы тщательной ме. Самая задача о логическом обоснова критике и так их обработать, чтобы поста нии начал арифметики имеет очень позд вить анализ бесконечно-малых на совер нее происхождение. Все руководства по шенно твердые основания. Коши и Гаусс бы арифметике носили на себе отпечаток книги ли уже видными представителями этих тен Луки Пачиоли и имели практический ха денций, Вейерштрасс дал этим требованиям рактер. Но в XIX в. вопрос об обосновании яркое выражение. Но основы анализа, как арифметики чрезвычайно занял внимание обнаружено тщательными исследованиями, математиков и притом с двух точек зрения. коренятся глубоко в началах арифметики,