Статистика - Статей: 872577, Изданий: 946

Искать в "Математическая энциклопедия..."

КОМПЛЕКС





- одно из основных, понятий гомологической алгебры. Пусть А- абелева категория. Градуированным объектом наз. последовательность объектов К n из А. Последовательность а=( а п). морфизмов а n: нез. морфизмом а:градуированых объектов. Полагая K(h)n= Kn+h, можно определить объект К(h). Морфизм градуированных объектов наз. морфизмом степени hиз К' в К. Градуированный объект наз. положительным, если К n=0 для n<0, ограниченным снизу, если К(К)положителен для нок-рого h, и конечным, если К п=0 для всех, кроме конечного множества, чисел п. Цепной комплекс в категории Асостоит из градуированного объекта Ки морфизма d: степени - 1 такого, что сР = О. Подробнее: d=(dn), где dn: и dn-1dn=O для любого п. Морфизм цепных комплексов

это морфизм а: градуированных объектов такой, что ad' = da. Двойственным образом (как градуированный объект с морфизмом dстепени +1) определяется коцепной комплекс.

Наиболее часто рассматриваются К. в категориях абелевых групп, модулей, пучков абелевых групп на топологич. пространстве. Так, К. абелевых групп есть градуированная дифференциальная группа, дифференциал в к-рой имеет степень - 1 или +1.

С каждым цепным К. Ксвязаны три градуированные объекта:

- границы; -циклы;

- n-мерные гомологии (см. "Гомологии комплекса").

Для коцепного К. аналогичные объекты наз. кограницами, коциклами и когомологиями.

Если Н(К)=0, то говорят, что К. К- ацикличен.

Морфизм а:. комплексов индуцирует морфизмы

и, следовательно, морфизм гомологии или когомологии

Два морфизма а, b:наз. гомотопными (что обозначается ), если существует такой морфизм s : К'->К(1)(или s : для коцепных К.) градуированных объектов (называемый гомотопией), что

(откуда следует, что Н(а)(b)). Комплекс Кназ. стягиваемым, если (в этом случае К. Кацикличен).

Если - точная последовательность К., то существует связывающий морфизм д:. степени -1 (+1), естественный относительно морфизмов точных последовательностей и такой, что ассоциированная с ним длинная гомологическая последовательность (т. е. последовательность

для цепного К. и последовательность

для коцепного К.) является точной.

Конус морфизма цепных комплексов а:есть К. МС (а), определенный следующим образом:

Разложение К. МК (а)в прямую сумму приводит к точной последовательности К.

для к-рой ассоциированная длинная гомологич. последовательность изоморфна последовательности

Следовательно, цепной К. МК (а)ацикличен тогда и только тогда, когда Н(а)- изоморфизм. Аналогичные понятия и факты имеют место для коцепных К.

Лит.:[1] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973.

А. В. Михалев.



Еще в энциклопедиях


В интернет-магазине DirectMedia