Статистика - Статей: 872588, Изданий: 948

Искать в "Математическая энциклопедия..."

КАРТАНА МЕТОД ВНЕШНИХ ФОРМ





- дифференциально-алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n -мерное векторное пространство над произвольным полем Кс базисными векторами е 0, е i, е ij, е ijk, ..., е 12...n, i Кроме векторов базиса для произвольного натурального числа q, определяются векторы е i1i2....iq ,i1i2,.. ., iq=1, 2,. .., n, по следующему закону: если среди натуральных чисел i1, i2,. .., iq есть хотя бы одна пара одинаковых, то е i1...iq=0; если все числа i1, ..., iq попарно различны и числа j12<...q являются перестановкой чисел i1, i2,..., iq, то когда подстановка (ik)+(j)k -четная, и е i1....iq=- е j1....jq, когда эта подстановка нечетная. В векторном пространстве Vвводится внешнее умножение:

при этом требуется выполнение обычных для гиперкомплексной системы (алгебры) законов. Построенная алгебра ранга 2" наз. алгеброй Грассмана. Вектор

наз. мономом степени р,. Сумма мономов одинаковой степени р>1 наз. внешней формой степени р;сумма мономов первой степени наз. линейной формой. Элементы поля Кявляются, по определению, формами нулевой степени. Векторы е i и любые пих линейно независимых комбинаций

образуют линейный базис алгебры Грассмана. Здесь и в дальнейшем по одинаковым индексам, встречающимся один раз снизу и один раз сверху, производится суммирование в соответствующих пределах.

Алгебраической производной 1-го порядка от внешней формы

степени рпо символу е i наз. форма степени р-1, к-рая получается из формы Wp заменой нулем всех мономов, не содержащих символа е i, и заменой единицей символа е i в остальных мономах после перенесения символа е i на первое место с соблюдением закона антикоммутативности при каждой последовательной перестановке. Ассоциированной системой линейных форм внешней формы Wp наз. совокупность всех ненулевых алгебраических производных (р-1)-го порядка от формы Wp. Рангом внешней формы Wp наз. ранг ее ассоциированной системы. Он совпадает с минимальным числом линейных форм, через к-рые, используя операцию внешнего умножения, можно выразить форму Wp. Для исследования системы дифференциальных уравнений в Rn используется дифференциальная алгебра Грассмана, когда в качестве Крассматриьается множество аналитич. функций от пдействительных переменных х i, определенных в нек-рой области пространства Rn, а векторы е i обозначаются символами dxi. Линейные формы в ней наз. 1-формами, или формами Пфаффа. В них символы dxi являются дифференциалами переменных х i. Внешние формы степени р>1 наз. р-формами, или внешними дифференциальными формами степени р. Внешним дифференциалом р-формы

наз. (р+1)-форма

Внешнее дифференцирование обладает следующими свойствами:

где - произвольные р-формы, a Wq - произвольная q-форма.

Форма Пфаффа w= aidxi тогда и только тогда является полным дифференциалом нек-рой функции f, когда ее внешний дифференциал равен нулю. Пусть

- произвольная система линейно независимых уравнений Пфаффа cm независимыми переменными х а и r неизвестными функциями zp. Система Dqa=0 наз. замыканием системы (1). Замыкание наз,. чистым замыканием (обозначается если в нем алгебраически учтена исходная система (1), то есть если в квадратичные формы Dqa. подставлены значения dza из уравнений (1). Система qa=0, Dqa=0 или эквивалентная ей система qa = 0,наз. замкнутой системой. Система (1) тогда и только тогда вполне интегрируема, когда Приравнивая нулю алгебраические производные от по dxa и dzx a=l, . .., т,x=s+l, ..., r, и присоединяя уравнения Пфаффа к исходной системе (1), получают вполне интегрируемую систему уравнений, к-рая наз. характеристической системой системы (1). Множество ее независимых первых интегралов образует наименьшую совокупность переменных, через к-рые можно выразить все уравнения системы (1). Пусть - результат подстановки в алгебраич. производную вместо dxa, dzx. произвольных переменных h=i, 2,..., т-1. С системой (1) ассоциируется последовательность матриц

Числа

наз. характерами, число

Q=s1 +2s2 +... + msm

наз. числом Картана системы (1). Присоединяя к замкнутой системе qa=О, уравнения dzx= где - новые неизвестные функции, получают первое продолжение системы (1). Пусть N- число функционально независимых функций из всегда Если N=Q, то система (1) - в инволюции и ее общее решение зависит от sm произвольных функций т аргументов, sm-1 функций т-1 аргумента, и т. д., s1 функций одного аргумента и sпроизвольных постоянных. Если же N то систему (1) надо продолжать, причем в результате конечного числа продолжений получается либо система в инволюции, либо противоречивая система.

Пусть, напр., имеется система

dz1 = udx+x2 dy, dz2 = udy+у 2dx

с независимыми переменными х, у и неизвестными функциями u, z1, z2 (s=2, m=2, r=3). Чистое замыкание ее имеет вид:

Для этой системы:

Система не находится в инволюции. Продолженная система

dz1 = и dx+x2 dy, dz2 = u dy+у 2 dx, du = 2(y dx+x dy )вполне интегрируема и ее общее решение имеет вид:

u = 2xy+c1,z1 = x(xу + с 1)+с 2, z2 = у( ху+ с 1) + с 3,

где c1, c2, с 3- произвольные постоянные.

Использование К. м. в. ф. значительно упрощает формулировки и доказательства многих теорем математики и теоретич. механики. Напр., теорема Остроградского записывается формулой

где М- аналитическое ориентируемое (m+1)-мерное многообразие, Г - его m-мерная гладкая граница, W - m-форма, а DW- ее внешний дифференциал. Формула замены переменных в кратном интеграле

при отображении р: определенном формулами xi= ji (u1, u2,..., и п), где D,получается непосредственной заменой переменных х i и их дифференциалов Так как

то

К. м. в. ф. широко применяется при исследовании многообразий с различными структурами. Пусть М- дифференцируемое многообразие класса F=- множество дифференцируемых функций на

М, D1- множество всех векторных полей на М, Us- множество кососимметричных F-полилинейных отображений модуля D1...D1(sраз,- натуральное число).

Пусть = F, а через U обозначена прямая сумма F- модулей

Элементы модуля U наз. внешними дифференциальными формами на М; элементы модуля наз. s-формами. Пусть тогда 'внешнее умножение определится формулами:

где Sr+s- группа подстановок множества 1, 2,..., r+s, а e(s)=1 или -1, в зависимости от того, четной или нечетной подстановкой является а. Модуль U кососимметрических F-полилинейных функций с внешним умножением наз. алгеброй Грассмана над многообразием М. Если Мсовпадает с Rn, то получается рассмотренная выше дифференциальная алгебра Грассмана. Внешним дифференцированием наз. R-линейное отображение D: обладающее следующими свойствами: для каждого если то Df есть 1-форма, определенная равенством Df(X)=X(f), где

если Пусть, напр., М- многообразие с заданной аффинной связностью. Аффинная связность на многообразии М- это правило С, к-рое сопоставляет каждому линейное отображение Сx векторного пространства D1 в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям:

для f, Оператор наз. ковариантной производной относительно X. Пусть Ф - диффеоморфизм многообразия М, - аффинная связность на М. Формула

где определяет на Мновую аффинную связность. Аффинная связность наз. инвариантной относительно Ф, если В этом случае Ф наз. аффинным преобразованием многообразия М. Пусть

для всех и пусть D1- модуль, двойственный F-модулю D1. F -полилинейное отображение (со, X, Y)w(T(Х, Y)), где - форма Пфаффа, наз. тензорным полем кручения и обозначается через Т; F -полилинейное отображение (w, Z, X, Y)w (R(X, Y) -Z )наз. тензорным полем кривизны и обозначается через R. Пусть и Х 1,..., Х п- базис для векторных полей в нек-рой окрестности Up точки р. Функции определяются на Up формулами

Для 1-форм определенных на U р формулами

справедливы структурные уравнения Картана:

Система уравнений Пфаффа

задает m-мерное подмногообразие Продолжая эту систему с использованием структурных уравнений Картана, получают последовательность фундаментальных геометрич. объектов подмногообразия

первого, второго и т. д. порядков. В общем случае существует фундаментальный геометрич. объект

конечного порядка к, определяющий подмногообразие с точностью до постоянных. При исследовании подмногообразий многообразия МК. м. в. ф. обычно используется совместно с методом подвижного репера (см., напр., [4]).

Метод назван по имени Э. Картана (Е. Cartan), к-рый широко использовал внешние формы с 1899.

Лит.:[1] Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц., М., 1962; [2] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.- Л., 1948; [3] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] Картан Э., Риманова геометрия в ортогональном репере, пер. с франц., М., I960.

В. С. Малаховский.



Еще в энциклопедиях