Статистика - Статей: 872577, Изданий: 946

Искать в "Математическая энциклопедия..."

ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ





функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения



В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:



где и - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное. Функция наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)



наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.

В. г. ф. - целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках

В. г. ф. - аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и .

В. г. ф. связана с гипергеометрической функцией соотношением



Элементарные соотношения. Четыре функции и наз. смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,



Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип - целые числа.

Формула дифференцирования:



Основные интегральные представления:



Асимптотич. поведение В. г. ф. при может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и :



Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя:



Многочлены Лагерра:



Интеграл вероятностей:



Интегральная показательная функция:



Интегральная логарифмическая функция:



Гамма-функции:



Элементарные функции:



См. также [1], [2], [3], [8].

Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И. 9. А. Чистова.



Еще в энциклопедиях


В интернет-магазине DirectMedia