* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 32t> Е с л и дисперсии ограничены где L — постоянная, то вероятность выполнения неравенства P Это второе допущение означает, что случайные рассеяния результатов наблю дений вокруг измеряемой величины не могут безгранично возрастать. Сделанные два допущения позволяют применить к величинам Xi, ха, . . . , Xn теорему Чебышева: удовлетворяет условию IlmP л-*оо (I й + Xo -h . . . + л х г - 0 | < е ) = 1 . Ле* Таким образом, при неограниченном увеличении л вероятность P становится сколь угодно б л и з к о й к достоверности, кнк бы мало ни б ы л о положительное число е. Частным случаем теоремы Чебышева является теорема Пуассона: если при п независимых испытаниях вероятность наступления события А при к-м испы тании равна р и если т — общее число появлений Л при л испытаниях, то к Это значит, что, увеличивая числонаблюдений, можно достичь практи ческой уверенности в том, что среднее арифметическое из результатов наблю дений будет как угодно мало отличатьсяот измеряемой постоянной. Теорема Маркова. П у с т ь X i , х « , . . , х — независимые случайные величины с математическими ожиданиями а\ п г аг, а\ = &2, а п и дисперсиями * я а\ = Ь\ г = оо 6„, которые та п т п ковы, что при л PH fr + »2 Л2 К=[ /I ' > 1 - 0. Частным с л у ч а е м является теорема р = const = />, то н теоремы Пуассона Бернулли: если р{\-р) т п — P < е ) > 1 Обозначим через х среднее арифмети ческое наблюденных значений величин X через х — среднее арифметическое математических ожиданий: l l 0 а, + ... + п а п Теорема Чебышева имеет применение в теории ошибок наблюдений. Пусть измеряется некоторая неизвестная физи ческая постоянная а. Производим ряд независимых д р у г от друга измерений. Р е з у л ь т а т каждого из этих измерений будет случайной величиной. Пусть х ь Jt21 . ,х — эти случайные величины. Д о п у с т и м , как это делает теория ошибок наблюдений, что средние значения этих величин одинаковы и равны как раз измеряемой постоянной а, т. е. п Т о г д а , какова бы ни была т е л ь н а я постоянная е, P41* *„|<е)>1 положи + • Е(х ) х = . . . - Е ( х п ) = а. Это первое д о п у щ е н и е означает, что наши измерения свободны от система тических ошибок. Д о п у с т и м , д а л е е , что дисперсии X , хя, . . . , х равномерно ограничены, т. е. 1 п Теорема Чебышева получается отсюда как частный с л у ч а й , когда все Ь равно мерно ограничены. При вычислении P на основании пре дыдущих теорем получается недоста точно точный результат. Б о л е е точное значение P получается при помощи следующей предельной теоремы А . М . Л я п у н о в а . Теорема Л я п у н о в а . П у с т ь x i , x i , . . . х — независимые случайные в е л и ч и г ы с математическими ожиданиями а к п и D(xi)