* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

328 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Д л я о т к л о н е н и я За вероятность т о г о , что | * | < З о , равна P (\х\ < Зо) = 0 , 9 9 7 3 , т. е. за пределами ± За, будет 0 , 2 7 % отклонений (при средней х = 0). Пример, Если при нормальном распределении числовой характеристики JT качества изделия пре­ дельные отклонение X от ее средней х принять равными — За и + З о , то количество брака, обусло­ вленного тем, что X < X — За или х > х -f-Зв, составит 0,270/0. Е с л и в данной совокупности S назы­ ваемой генеральной, содержится N пред­ метов, имеющих отметку х, и если эта отметка принимает значения x i , ха- . ., X частоты которых суть соответственно Nu JV*.. •. N VNI = Л 0 , то число N t st s Г ( х ) — ф у н к ц и я гамма (стр. 178, табл. X на стр. 4 1 ) . Ф у н к ц и я s(t) представляет плотность вероятностей в распределе­ нии Стьюдента. Этим распределением п о л ь з у ю т с я для л<20; если п > 2 0 , то распределение Стьюдента можно заменить нормальным (со средней 0 и дисперсией I ) . В т а б л . на стр. 334 даны значения 5 (г) интегральной функции распределения д л я закона Стьюдента T 5 (Z) = JS — OO (t) dt называется объемом генеральной совокуп­ ности, а среднее значение х называется средней: а = "jn-^iV/X/. Величина S (г) есть вероятность неравенства — o o < * < z для данного л . Вероятность неравенства — z < / < - h z : P ( - z < t < z ) = +2 J —z s(t)dt- генеральной Е с л и выбрать из 5 наудачу п пред­ метов (возвращая взятый предмет обратно в 5 ) , т о образуется повторная случайная выборка: x\ t = 2^s(t)dt = 2S (z) — l - хг X s с частотами в 5, то ль nt я, (Zn i = я); слу­ Вероятность P(\t\>z) = 2[\-S(z)]. если ж е взятый предмет не возвращается образуется бесповторная х= — ^ чайная выборка. Средняя выборки средней: назы­ n вается выборочной ' * ' - П р и б о л ь ш о м п и N^>n имеем а « 7 Распределение Стьюдента приме­ няется д л я оценки вероятности о т к л о ­ нения выборочной средней от генераль­ ной средней. Е с л и с л у ч а й н а я величина ——— а— х. Пример. Найти вероятность значений t таких, что I г I > 2,5 для выборок объема п = 7. По табл. на стр. 334 для z = 2,5 находим б (z) = ",9705, следовательно, P > 2,5) = 2 (1 - 0,9765) = 0,047. 4 Значит, вероятность значений г, лежащих между — 2,5 и 2,5, равна 1 — 0,047 = 0,953. ЗАКОН И БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ , где X — в ы б о р о ч н а я средняя, средняя, а ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА а — генеральная а— X Vn П I=I Xf — выборочные л ю б о м значении п дифференциальным ния вероятностей значения, то при > 2 величина t имеет законом распределе­ выражение л Закон б о л ь ш и х чисел устанавливает б л и з о с т ь между вероятностью случай­ ного события и частостью появления е г о при б о л ь ш о м числе испытаний. Н а и ­ б о л е е общая форма этого закона дана П . Л . Чебышевым и А . А . М а р к о в ы м . Теорема Чебышева. П у с т ь x i , х%, ... .. ., X — независимые с л у ч а й н ы е ве­ личины с математическими ожида­ ниями аи да, . . . , о и дисперсиями o p O j , . . . , O . Обозначим через х сред­ нее арифметическое наблюденных зна­ чений величин X : n п 2 n 1 где •<«- ( е , + г=г)~ Т X 0 = Л а через х — среднее арифметическое математических ожиданий: с — Умл-1 > г ( ^ ) *