* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
306 ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ fix) на [а, Ъ ] всегда можно подо брать п и коэффициенты C Cl ..., C так, что среднее квадратическое о т к л о нение S = C ^ (JC) + Cityi W + . . . + + ntyn( ) от f(x) становится меньше любого сколь угодно малого положи т е л ь н о г о числа. У с л о в и е полноты си стемы о р т о г о н а л ь н ы х функций ф (х), tyi(x) ... выражается равенством 0 t t n (А = ряда Ф(х). 1, 2 , 3 , . . . ) . В д а л ь н е й ш е м сумму Ф у р ь е д л я f(x) обозначим через приближенной полиномом) замене S (х) = n a 0 0 При ческим f(x) три + c x гонометрической суммой (тригонометри -^- о 0 0 я + 2 a f t c o s k 9 2>? = J t / W i i=0 ~ f + sln * -J- средняя 2 **. n A = I а +< квадратическая ошибка S = A J . 2 В этом с л у ч а е говорят, что s (x) сходится в среднем к функции / ( х ) . Среднее квадратическое отклонение s (x) от f(x) находится из равенства n [^(t) — (Ъ-а) Б = J [/W] 2 ь я 2 а /=0 Примеры полных ортогональных снстеы функ ции: 1) Система функций •kx _ , _ •kx П ilx — n( О J *** будет наименьшей, если a = A , p = 6 — коэффициенты Ф у р ь е данной функции. Д л я всякой ограниченной и кусочнонепрерывной функции f(x) ее ряд Ф у р ь е сходится в среднем к этой функ ции, т . е. s 8 f t f t f t f t cos — . *Х , соз 2 — UC — 7 — , , сое 3 - j , „ KX sin 3 — j - , . . . 1 •у s i n ~j- . «In 2 U m Г If (f)-s n (г)]ад^ = о. полна и ортогональна на отрезке 0 < л < 2/. Полнота этой системы впервые доказана А . М . Л я пуновым. 2) Система бесселевых функций YJJ 0 (H X) l t YTJ 0 (ъх), Y J J 0 (а^х) полна и ортогональна на отрезке [0, / ] , если ш.у (А = 1, 2, 3, . . . ) — корень уравнения Уо(а^/)=0 (см. бесселевы функции, стр. 222, 311). Тригонометрический ряд Ф у р ь е При разложении f(x) на отрезке —/ ^ X • < / в основной тригонометри ческий ряд Ф у р ь е 0 O I 1 ^ x , + 2 n 7CJC , - ^ L + j cosTlX— + ^sin— + & fl o cos 2 — + ... s l n 2-у- + ... 2 тис Функция /(JC) называется удовле творяющей в промежутке ( а , Ь) условиям Дирихле, если в ( а , b) f(x) и л и непре рывна, и л и имеет конечное число разры вов 1-го рода (стр. 137), имеет конечное число экстремумов; с у щ е с т в у ю т конеч ные пределы f(a + 0 ) и f(b — 0 ) . И н а ч е : f(x) — ограниченная, и отре зок (а, Ь) можно разбить на конечное число таких отрезков, внутри каждого из которых 1(х) — непрерывная и моно тонная. Теорема Дирихле. Е с л и /(JC), заданная в (— /, /), удовлетворяет условиям Д и р и х л е , то ряд Ф у р ь е этой функции сходится во всем промежутке (—/, /) и сумма этого ряда: 1) равна }(х) во всякой точке непрерывности /(х); 2) равна у Ц(х + 0) + /(х-0)] в коэффициенты лам Э й л е р а : вычисляются по форму -H f(t)dt- точке ^ и разрыва непрерывности; 0) + /(/ - 3 ) равна I [/<-/ + 0 ) ] при X = - +'