* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
304 РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Бесселя. Ф о р м у л а особенно удобна д л я интерполяции на середину при X = X 1 в первой формуле С+О ^ ^ Ньютона А и + X 0 я+1 hя+1 У п Интерполяционная формула Лагранжа для неравноотстоящих узловых точек /(«*)»¥ (X-X ) 1 во второй ф о р м у л е 3) Д л я ф о р м у л ы /(2л-И) ч ( С Ньютона. Стирлинга (X-X ) 1 я (X) 2 = (х—х ) п ( 2 я + n l U - ^ o ) X ( X - X 1 0 ) . . t (х 0 — X ) (X 0 - X 2 ) . . . (X 0 — X) n Уо + Уг + f T Х(х — X _ j ) . . . ( х — Х ) (X — х _ „ ) . + + (X — х ) (X 1 (х — х )...(х— 2 X) n Здесь n можно заменить Д 2 л — X) 0 (X 0 1 - X 1 ) . . . (X 1 — X) (2я+1) j (х п — X) 0 (X — X , ) . . . (JC — X „ - ) (Х п (¢) * + У-л-1 + 2 1 2 л Л ***+ У1 + 1 я (л —л ) — X ) ...(X 1 n — X -i) n 4) Д л я ф о р м у л ы Пример. Построить полином у = / ( д г ) по зна чениям .г, у, приведенным в таблице: X Бесселя U 2 1 3 2 12 5 * " X U С (2/1 + ^ i 1 x Х ) (X — X ) ( X — Х _ ! ) . . . 147 ...(X-X ) n (х — х _ „ ) можно Д ( X - X 1+ Д 2 л n ^ 2 1 ) . „ ~ • По формуле Лагранжа получим Здесь / ^ + 2 ) заменить 2 л + у 2 я + у У = + (х~1) (О - (х2) U - 5 ) 2 + 1 ) ( и - 2 ) ( U - а) 3 + ( £ ) X (х - 2) (.г - 5) Ul -2)(1 -5) ^ U - D U - 5 ) 2 (2 - 1) (2 - 5) ^ I 2 + Численное дифференцирование и интегрирование Д л я п р и б л и ж е н н о г о ( ч и с л е н н о г о ) дицУ ференцирования / (х) последняя заме няется одной из интерполяционных фюрмул t p ( x ) : по ф о р м у л е Стирлинга ^ 5 ( 5 -1)(0-2) ^ Остаточные члены интерполяционных формул Погрешность при интерполировании можно оценить, если вычислить остаточ ный член R = I (х) — Y ( х ) . 1) Д л я ф о р м у л ы Лагранжа R (JH) \ dX _ 0 I [Ду + 0 Ду_ h 2 Jx=X ~~ Д3у_! - -Д _У-2 3 , 2 , L _ ^ У - 2 + д б / ( n + 1 ) (S) у х ), п У - З * 0 (п + 1 ) 1 ' 30 2 Ньютона 4-...]; X ( х — х ) ( х — X i ) . . . (х — по ф о р м у л е •где 6 — промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел х , 0 x ( I t - ->х . п 2) Т а к о е же выражение имеет R и д л я формул Ньютона, если аналити ческий вид / (х) известен. В противном с л у ч а е можно заменить Д"+' /< + л 1 ) «) * Уо I ч п+ Для приближенного (численного) интегрирования f (х) следует эту функ цию заменить интерполяционным мно гочленом < (х). р И н т е г р и р о в а н и е у (х) приводит к ф о р м у л а м трапеций, Симпсона и др. (см. стр. 182).