* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 297 ческой линии ее главная н о р м а л ь сов­ падает с нормалью к поверхности. Расстояние по геодезической линии между двумя ее достаточно б л и з к и м и точками меньше расстояния между теми же точками по всякой д р у г о й кривой, п р о х о д я щ е й через эти точки. Е с л и поверхность дана в форме ( 1 7 ) , то дифференциальное уравнение геоде­ зических л и н и й имеет вид dy_ огибающая находится присоединением к этим трем еще одного уравнения: X Xy *е u Уи УУ yt ^u Zy z t = 0. поверхностью (22) на­ Развертывающейся (1 + P 2 + 4 2 ) - ¾ = / " dx + +a»-«u(g)+(pr-2,.)(£)-,r. Огибающая семейства поверхностей. У р а в н е н и е F (x у , г, /) = О определяет однопараметрическое семейство поверх­ ностей; i — параметр. t зывается огибающая однопараметрического семейства плоскостей F = Ax -\+ By + Cz + D = 0 , где A B C D — функции t. Характеристика плоскости из д а н н о г о семейства есть прямая: Ax + By + + Cz + D = 0 , А'х + В'у + Cz + + D = 0 , где Л \ B C D' — про­ изводные по t. Развертывающаяся поверхность — 9 s 4 f i t t линейчатая поверхность (стр. 298). Ребро возврата определяется урав­ нениями F = O. Е с л и из F = с с 0 и Fi = п с — — - ~ — — =0 % t t Л dF(x y z t) исключить /, то получится урав­ нение поверхности, называемой дискриминантной. Для каждого значения t два уравнения F = 0, Ff=Q опреде­ л я ю т л и н и ю , называемую характери­ стикой той поверхности, которая выде­ ляется из семейства при этом значении t. Дискриминантная поверхность есть геометр и чес кое место ха ра ктер исти к. Огибающей семейства поверхностей называется дискриминантная поверх­ ность или ее часть, касающаяся каждой своей точкой некоторой поверхности семейства. О г и б а ю щ а я касается поверх­ ности семейства вдоль характеристики. На огибающей поверхности характе­ ристики образуют семейство линий. Е с л и это семейство л и н и й имеет оги­ бающую, то последняя называется ребром возврата семейства поверхно­ стей или о г и б а ю щ е й ; ребро возврата определяется уравнениями F = O; F r F tt =- 0. Фиг. Развертывающая­ врата. ся поверхность со­ стоит из касательных ее ребра возврата (фиг. 7 6 ) , я в л я ю щ и х с я характеристи­ ками. Каждая плоскость семейства — с о п р и к а с а ю щ а я с я п л о с к о с т ь ребра воз­ врата. К а с а т е л ь н а я п л о с к о с т ь к раз­ вертывающейся поверхности — одна и та же вдоль характеристики и совпадает с соответствующей соприкасающейся п л о с к о с т ь ю ребра возврата. Р а з в е р т ы в а ю щ а я с я поверхность нало­ жима (без складок и разрывов) на пло­ скость. Во всякой точке развертываю­ щейся поверхности полная кривизна К=0. Пример. Огибающая семейства плоскостей F S д: s i n / — у cos / -f- Z — Mt = 0, где f — пара­ метр, A = C o n s t , найдется исключением / из F=O F — 0. Если положить Z — kt = и, то можно по­ лучить параметрические уравнения огибающей t 76. Ребро поз- 9 = O; F ti = dt* = 0. X = A cos t — и s i n t\ у = A s i n / -f- и cos /; И з трех уравнений можно п о л у ч и т ь параметрические уравнения ребра воз­ врата * - х ( 0 , У-yifi* * = z(t). Z = ht + u t определяющие винтовую поверхность. Ребром возврата будет х = A cos /, у = А sin /, Z = Utвинтовая линия на круглом цилиндре с радиусом А. В с л у ч а е задания семейства поверх­ ностей параметрическими уравнениями X — х(и % Образование поверхностей линиями. Е с л и линии двупараметрического се­ мейства F i V г), у = у ( " » V t 9 t) z t = z (u t v t) t (x t у, Z а, ß) = 0, F t 2 (Jf 1 у , Z, =- О