* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

296 формы определяются 1 H = ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ формулами х и 1 х x x аа а v Уuti Z у y и v ua Г л а в н ы е радиусы кривизны с у т ь кор­ ни квадратного уравнения KR* —2MR+ 1 = 0 . Z Z z u v Uvyuv UV u D' = = и 1 x U v x Уи y v v v z z Нормальные сечения поверхности, имеющие кривизны Ki и /Сг, называ­ ются главными нормальными сечениями dv V vv x x y v v Z z поверхности, и направление этих H ~ и U v x Уп y F 2 . ^u v v сечений (взаимно перпендикулярных) определяется из квадратного уравнения VEU — ( 0 ^ - ^ ( * ) * + ( + (FU-ED ) t 0 D t W * + В с л у ч а е задания поверхности урав­ нением ( 1 7 ) вторая квадратичная форма имеет вид г Ac* + 2s dxdy 2 = ^ + 2 tdy* Vi где t = р = z y r + /> + я z yt z, x q = Г = Z S = Z ху* -Z?— радиусы А кривизны соответствующих сечений C и С (фиг. 7 4 ) , т о R Cos Q = R (теорема М е н ь е ) . R берется со знаком плюс, Если n R = -rj- , K n R = n n n если п направлен в сторону вогну­ тости кривой C nt и минус, если п направлен в сто­ рону выпуклости. Для каждого нормального сече­ ния C его кри­ визна n коэффициенты квадратичных форм E F G D D D' вычисляются в данной точке (u v) поверхности. Классификация точек поверхности. Е с л и в точке M (u с) поверхности вели­ чина DD —D' >0, то точка назы­ вается эллиптической; R и R — одно­ го знака; вблизи точки M поверхность расположена по одну сторону касатель­ ной. Е с л и DD" — D' < 0 , т о точка называется гиперболической', Ri и R — разных знаков. Поверхность пересе­ кается касательной п л о с к о с т ь ю в точке М, и вблизи этой точки поверхность имеет вид г и п е р б о л и ч е с к о г о параболо­ ида. Е с л и D D * — D ' 2 = O то точкя называется параболической. R\ или R2 равен с о . t t t t i t t ir 2 i 2 2 2 1 Геодезической кривизной Kg в точке M Ф И Г . 7 1 . Нормальное сечение поверхности. K= n /C COS 1 2 tp + + K SinZcp 2 (формула Э й л е р а ) , где tp — у г о л между плоскостями нор­ мальных сечений с кривизной K и /Cin Велич.ины Ri = ные радиусы ~ Ai t R 2 = — A n глав2 линии Г на поверхности называется кривизна в той ж е точке кривой Г', я в л я ю щ е й с я проекцией Г на касатель­ н у ю плоскость поверхности в точке М. Кривизна К линии Г, K и нормальная кривизна K кривой Г (кривизна нор­ м а л ь н о г о сечения п л о с к о с т ь ю , прохо­ дящей через т кривой Г и через п к поверхности в точке М) связа­ ны соотношениями (фиг. 75) g n кривизны, кривизна т. е. наибольшее в точ­ + —F*) поверхно­ DE lt K g = = KslnQ; Kcos = 0; Rx-PaФиг. 75. Центр геодези­ ческой кривизны. и ке наименьшее Средняя значения R. поверхности DG— 2D'F 2 (EG кривизна K Г n (и, с ) ^(K + 1 радиус MC l кривизны геодезической Ci — центр K) 2 = диус = визны. кривизны, геодезической Kg = кри¬ ролная (гауссова) сти, в точке (u t v) DD n D'2 — F* Геодезической линией f f на поверхности M K = KiK 2 = HG называется такая линия, в точке которой / C = O . В д о л ь каждой геодези-