* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 295 Вектор нормали Уравнения нормали X — г соз у / ' От) C O S tp Y — г sin / ' И s i n ч» 9 = = орт нормали Z — / (г) —1 л И \N\ Проекция нормали на плоскость хОу И 9 Y = Xtg 9 VEG D\+Dl z D — F* + D\Z = &i =* Уu v z проходит через начало координат, следовательно, сама нормаль пересекает Oz. t —Уv u* D d 2 u v U^V a Z 7/-%i = x y —x y . v В с л у ч а е задания нением ( 1 7 ) имеем поверхности урав­ Кривизна поверхности. К р и в и з н а К линии и = и ( г ) , и = V ( г ) на поверх­ ности г = г ( « , и) о п р е д е л я е т с я из фор­ мулы К ds • + r еДИНИЧ \ = N г 9 N z где * Ts = dr = r - du , - dv *Ts "ds-- ¬ P хг -7 — y\ вектор л, л е ж а щ и й на нормали, о б р а з у е т острый у г о л с о с ь ю Ог. В с л у ч а е задания поверхности урав­ нением ( 1 8 ) имеем \ N N Nj 9 9 9 ный вектор касательной к л и н и и ; v — единичный вектор г л а в н о й нормали той же линии. Т у же кривизну К имеет п л о с к о е сече­ ние поверхности с о п р и к а с а ю щ е й с я пло­ скостью линии. Е с л и С — п л о с к о е сечение поверх­ ности в точке M C —нормальное сечение п л о с к о с т ь ю , п р о х о д я щ е й через t n Уравнения касательной плоскости • нормали к поверхности Задание поверхности (стр. 293) Касательная плоскость Нормаль (17) (18) (19) (20) iX 1 Z - z = p ( X - j r ) + х) F x ?(K-y) 2 Х - х -P Х - х F Y-y — •7 Y-y ' F + (Y - у) F y -f- ( Z - z) F = 0 e _ Z - z 1 Z - z F X D (X - х) - j - D%(Y - у ) + D ( Z - Z) = 0 ( f f - л ) Л? = 0 Х —х D. Y-y D t y Z Z - z D t R=7 + tN В т а б л и ц е * , _y, г, / — координаты и • радиус-вектор точки M поверхности; X Y Z R — т е к у щ и е координаты и радиус-вектор точки касательной пло­ скости или н о р м а л и ; все производные вычисляются в точке М. T T T л к поверхности и через т к С , кривизна C K — кривизна C 1 n nt / — С то K n = Kcosb 2D'du dv = + + Gdu* 9 D du* + ~ Edw~ + Пример. Показать, что нормаль в точке (X1 у, z) к поверхности вращения х = г cos у. y « = r s i n у, Z= / ( Г ) пересекает ось вращения: Xfr Xy 1 2F dudv = = cos <р; y = Slntp; r Z .=/'(г); f где б = ^ ( v , л ) , V — главная н о р м а л ь С (фиг. 7 4 ) ; з н а м е н а т е л ь есть ds*; ч и с л и ­ т е л ь Ddu - + 2D'dudv и называется второй y — г s i n ч>; y 1 v = г cos <р; 2 ^ — 0. О , — г. -f- D V o =• квадратичной 2 drdn фор¬ D = -r/'(r)cos*p; D = - r/" ( r ) s i n мой поверхности; коэффициенты этой