* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ поверхности ( 1 9 ) и л и (20) была особой, является о б р а щ е н и е в н у л ь трех опре­ делителей матрицы ( 2 1 ) . Пример, Уравнение прямого геликоида (винто­ вая поверхность) у —х Xgz можно параметризо­ вать, если положить х = и cos V, у = и s i n v; 1 _ — _дх дх ( ду ду dz_ дг_ . "-«-(#)43)4¾ Е с л и Z = 0 в каждой точке /И ( и , и ) , то координатные линии u = и о = ортогональны. Выражение E d u + IFdudv + Gdw r i t a z = v. При и = C точка M (л*, у, z) этой поверхности опишет винтовую линию на иилиндре с радн- называется первой (основной) тичной формой поверхности или ным элементом поверхности. Пример. Для поверхности у = -4=г s i n (Yl квадра­ линей­ конуса v), Z = .г =» -^r «=^cos(VTv), YI t V2 ; dz * 2 . , — du Y2 „„(V2,): имеем *L _ 'X Фиг. 73. Прямой геликоид (коноид). усом и\ при V = C точка M опишет прямую BMпересечение плоскости z= v с плоскостью у = i X l g V (фиг. 73). t « с м 1 fx Ju Y2 _1_ . ~ уТ ' i f OV Ы s i n ( V T v ) ; - ¾ - = а cos ( V l v ) ; OV Л и н и ю на п о в е р х н о с т и dz dv E = I Угол t = O г = г (и, v) можно задать присоедине­ нием к у р а в н е н и я м поверхности урав­ нения Y ( u , v) = 0 и л и системы урав­ нений и = и ( 0 . v—v (t) причем функции непрерывны и имеют непре­ рывные производные 1 -го порядка; в этом с л у ч а е уравнение л и н и и имеет вид t G = u , F = O: ds* = du* 4 - &dv*. двумя кривыми (т. е. 8 между между касательными к ним) на поверх­ ности г = г (и, v) и пересекающимися в точке M вычисляется по ф о р м у л е drbr cos О = Edu Ъи + .dr\\br\ Ьи dv) r = r[u{t\ v(t)\. F (du bv + dsbs - f Gdv ^v * Вектор касательной dr = Г г / к этой r dv. v линии r du u + г д е Г и _ дг d~r ~ ^ ' ~ д и ' Линейный Дифференциал влемент поверхности. д у г и линии и = и (/), г = г (и, v) V = V (t) на поверхности выражается ф о р м у л о й ds* = где d u = = (dry Edu* + — (r du u где d — знак дифференциала д л я 1-й л и ­ нии; 6 — знак дифференциала д л я 2-й линии. О площади поверхности см. стр. 190 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ч е р е з в с я к у ю обыкновен­ ную точку M поверхности проходит бесчисленное множество регулярных к р и в ы х , принадлежащих поверхности. К а с а т е л ь н ы е ко всем этим кривым в точке M лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к + r tto)* 9 => 2Fdu dv + v' Gdv\ (t)dt\ u ' (t)dt\ dv = поверхности в точке М. П р я м а я , про­ ходящая через M перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке М. К а с а т е л ь н а я плоскость проходит через векторы г и r , касательные к л и н и я м соответственно v = с и U = C в точке Ni. а v г 1