* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА П Л О С К О С Т И 215 щиеся на расстояниях от нее OKi = Радиус кривизны = OKz=— точки M (х у (фиг. 2 0 ) . у) гиперболы Го Для всякой MEo е. ab В вершинах R = b : а = р. Отрезок касательной TTi между асимптотами делится в точке касания пополам: MT=MT (фиг. 2 2 ) . П л о ­ щадь ДТОГт между касательной и 2 1 Р а ц и о н а л ь н ы е формулы д л я радиусоввекторов точек правой ветви r\ = а -Ь + ех, Г2 = — а + ех и левой ветви г\ = = — а — ех, Г2 = и — ex. Диаметром гиперболы называется гео­ метрическое место середин п а р а л л е л ь пых хорд. Е с л и k\ — у г л о в о й коэффи­ циент этих хорд, Аг — у г л о в о й коэффиЬ 2 2 циент диаметра, то k\k = ; напра­ вления, о п р е д е л я е м ы е k\ и k назы­ ваются сопряженными. Взаимно сопря­ женные и перпендикулярные диаме­ 2t тры — главные оси симметрии. диаметры, уравнениями Ь они же — Фиг. 22. Отрезки касательной между асимптотами гиперболы. Асимптоты определяемые гиперболы — прямые, Асимптоты гиперболы — самосопря­ женные диаметры. Расстояние от точки г и п е р б о л ы до асимптоты неограниченно убывает при удалении точки по кривой в бесконеч­ ность. Если за оси координат принять асимп­ тоты, то уравнение г и п е р б о л ы (в аффин­ ных к о о р д и н а т а х ) имеет вид ху = С. У асимптотами равна ab ( д л я всякой точки М). Е с л и MP и MQ п а р а л л е л ь н ы асимптотам, то произведение отрезков MP-MQ=- J L (a + 6 ) = J L c . a 2 2 Фнг. 2 1 . Касательная н нормаль гиперболы. Касательная M (ле, у ) имеет к гиперболе уравнение Yy Ь 2 в точке Kx о2 U Y — т е к у щ и е координаты. Касательная и нормаль — биссектри­ сы соответственно внутреннего (ф = Ф1J и внешнего (<р = ^ ) у г л о в между п и г\ точки касания (фиг. 2 1 ) . 2 Xt 4 4 П о с т р о е н и е т о ч е к гипер­ б о л ы , имеющей данные асимптоты и проходящей через д а н н у ю точку М: через э т у точку M У проводят всевоз­ можные прямые, на которых от то­ чек пересечения с асимптотой (лю­ б о й ) откладывают отрезки AiMit рав­ ные MA ; геомет­ Фиг. 23, Построение рическое место т о ­ точек гиперболы. чек A f i есть гипер­ б о л а (фиг. 2 3 ) . С о п р я ж е н н ы е г и п е р б о л ы д: у у X —2 ~ = 1 и -TT тг — 1 имеют о2 щие 6 aб асимптоты. Ь2е й с таи т е л ь н а я о с ь Д вг каждой из них является мнимой осью другой. Если обозначить через 2