* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 243 определяет точке ( окружность = А центром В \ 2 " . Уо = — — — + — С J и раесли быть где х, у — т е к у щ и е координаты (точки М); 2а = AB 2b = С О — б о л ь ш а я и малая оси t эллипса; b = ] / а — с , ^ 2 2 e - J ^V^. экс¬ Фо­ длины центриситет кальный эллипсJ е = —^-<^\. (половина уравнение приведено к виду а может параметр (jr — jfe)» + (У — У в ) — Параметрические ности: х = X - f a cos t 0 t Л окруж­ А/ уравнения у *=уо + a s i n U Фиг. 14. Эллипс и его влементы. где переменный параметр t изменяется от 0 до 2я и геометрически означает у г о л , отсчитываемый от положитель­ н о г о направления Ox к подвижному f 2L радиусу против часовойстрелки Ч*.Ц (фиг. 12). a хорды, проведенной через фокус парал¬ л е л ь н о малой оси) р = а t t t —. Точки A B C D — вершины эллипса, точка О — центр э л л и п с а . Директрисы — прямые KiEi и KzEi t п а р а л л е л ь н ы е малой оси и находящиеся на Фиг. 12. К уравнению окр у жностн в прямоугольных координатах. Фнг. 13. К ура Dнению окружности в полярных коор­ динатах. расстоянии O/Ci = каждой Го — » / T T = ОКъ =F — от нее. M (х, у) е Для MEi точки е- эллипса выраT 1 Mt Рациональные 2 Параметрические уравнения ности с центром в точке (О, 0) X => a cos t у = я s i n Л t окруж­ жения д л я точки М: Г) = радиусов-векторов а + ех\ гI = а — ex. и г% В п о л я р н ы х координатах (г, ср) урав­ нение о к р у ж н о с т и с центром в точке ('о* Po) радиусом а имеет вид c и Диаметром эллипса называется гео­ метрическое место середин п а р а л л е л ь ­ ных хорд. Е с л и A — у г л о в о й коэффи­ циент этих хорд, k — у г л о в о й коэффи1 2 г2 _ 2/т cos (<р 0 <р ) + г 0 2 0 - Д2; если центр л е ж и т на п о л я р н о й оси и окружность проходит через полюс, то уравнение имеет вид (фиг. 13) циент диаметра, то kik* = ь a L 2 т ; г = 2а cos у; уравнение о к р у ж н о с т и с центром в по­ люсе г =• а. Эллипс. Э л л и п с о м называется гео­ метрическое место точек M д л я каждой из которых сумма расстояний T и г до двух данных точек F и F (фоку­ сов) есть величина постоянная: T + + г = 2а. При расположении осей Ox и Oy на фиг. 14 каноническое уравнение э л л и п с а имеет вид t 1 2 1 2 1 ? fl направления, определяемые Aii и k i , называются сопряженными. Если а и (Ь —острые у г л ы с о п р я ж е н н ы х диа­ метров с б о л ь ш о й о с ь ю ( f t i = Xga k% = # t = — t g ß ) и длины их 2 a i и 2b\ то а\ t 2 х + + b\ = а + № и а Ь\ s i n (a + Р) = ab (теоремы Аполлония) (фиг. 15). Взаимно сопряженные и п е р п е н д и к у л я р н ы е дна-, метры — г л а в н ы е диаметры эллипса, они ж е — о с и симметрии. Уравнение касательной к эллипсу в точке M (x у) t fl 2 + *2 *' 2 + bi где X У — т е к у щ и е координаты точки касательной. Н о р м а л ь и касательная T