* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

IS6 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Д л я них имеют место все обычные тригонометрические соотношения. в частности, первые две имеют период 2тс и две вторые — период п. Гиперболические функции: sh г = e z точке области ческой (или G t называется в аналити­ области G t регулярной) и тогда о каждой точке области гово­ рят, что в ней данная функция анали­ тическая, и каждую точку называют обыкновенной или правильной точкой - e ~ 2 z ch z = е г + 2 е~ г функции / (г). Всякая неправильная точка функции f(z) называется ее особой точкой. Пример. Функция ш = Z (и = X — у , v => = 2ху) —пезде аналитическая; функция «* = = 2z + iz {и = 2х + у, V = jr -f- 2у) — везде не­ аналитическая. 1 t 1 Тригонометрические и гиперболиче­ ские функции связаны соотношениями s i n Iz = / s h z\ cos iz = c h z. Л ю б о е соотношение между тригоно­ метрическими функциями s i n z и c o s 2 переходит в соответствующее соотно­ шение между гиперболическими функ­ циями shz и c h z , если в этом соотно­ шении заменить s i n г через /shz,а cos z — через c h г. Обратные тригонометрические и ги­ перболические функции определяются так ж е , как и д л я действительного пере­ менного. Например, w = a r c s i n z, если z = s i n w. Эти функции выражаются через логарифмы a r c s i n z= — i l o g {iz + V l — г-) ; 2 П р а в и л а дифференциального исчисле­ ния о производной суммы, произведе­ ния, частного, с л о ж н о й и обратной функ­ ции остаются верными и д л я функций комплексного переменного. Сумма, про­ изведение, частное регулярных в G функций также р е г у л я р н ы в G (част­ ное — за исключением точки, где зна­ менатель обращается в н у л ь ) . Д л я р е г у л я р н о й функции w = f(z)= = и (x у) + Iv (х у) t % „ J , V Ou dx , .dv dx dv dy .du dy t ^ arccos z = / l o g (z + / ] / l — z ) ; a r c t g z = -^rr l o g т & —; 1 2i 1 — *z Arsh 2 = l o g (z + Arch z = log (z + Arth У Z + l) ; >^z2 — 1 ) ; Ф у н к ц и я , аналитическая в о б л а с т и G имеет в ней производные всех по­ рядков. Действительная и мнимая части ана­ литической функции / ( г ) удовлетво­ ряют уравнению Л а п л а с а Ди = &и d& , д*и dy* 1 1 -u z = тг l o g . 2 I - Z 6 = 0. т. е. и и в области и — гармонические G. функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛ ПО К О М П Л Е К С Н О М У ПЕРЕМЕННОГО Д л я того чтобы однозначная и непре­ рывная в окрестности точки z функция W= / ( г ) имела производную /'(Z)= Hm Д2-0 ПЕРЕМЕННОМУ Интеграл от функции комплексного переменного f(z) по д у г е кривой С определяется как предел суммы л J/(Z) dz = Hm 2 /(C ) i / ( Z + Дг) — / ( г ) (где Az -> О л ю б ы м способом), необхо­ димо и достаточно, чтобы в ы п о л н я л и с ь условия Даламбера du dx ~ dv dy 9 (Z 1 - z_ ) t x t - Эйлера du Oy du dx где точки Z , Z 1 n 2 z_ , t x z t z_ n 0 x Ф у н к ц и я w = / ( г ) , дифференцируемая в точке z, называется моногенной. Функ­ ция W = f (z) моногенная в каждой y разбивают д у г у С от точки а = Z до точки Ь = z на л частей, причем при переходе к пределу наибольшее рас­ стояние между двумя соседними точ­ ками д о л ж н о стремиться к н у л ю .