* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 195 Если комплексный ряд сходится, то его л-й остаток r = s — (W\ + W2 + - I - ..+W ) стремится к н у л ю при л - * - о о , т е. | г | < е , как т о л ь к о индекс л сде­ лается б о л ь ш е некоторого числа N за­ висящего от выбранного произвольно малого п о л о ж и т е л ь н о г о числа е. Ком­ плексный ряд функций от г называется n n л t Адамара где /= т. е. Hm Л-» O O у' \с \, п равномерно сходящимся в области G. / — наибольший предел п 4 последо­ если для произвольно заданного п о л о ­ жительного е можно выбрать такое зна­ чение индекса /V, чтобы неравенство |г |<в б ы л о справедливо при л ю б о м л > • N и при всяком п р о и з в о л ь н о м г из д вательности п чисел \с \ (см. стр. 134). fj OO области G. Е с л и члены ряда {z) — Пример. Для ряда ! + z - f - z + * " + . . . , с = 1, если л — квадратное число, и C = O в протипном случае: последовательность | C I , 3 л у I 1, j/ I с 1 у \с J имеет п t / 9 п предельные точки: О и 1: /=TTlm непрерывные функции от г в области G и если ряд сходится равномерно в о б ­ ласти G , то сумма S ряда также непре­ рывная функция от г в области 67. OO л-•CO V| f f n| в А и R=-r = 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ КОМПЛЕКСНОГО ФУНКЦИИ Если все члены ряяа ^w (Z) n в об- ПЕРЕМЕННОГО г | у л=1 ласти G удовлетворяют условию 1 W (z) I < а „ , где а „ — постоянные по­ ложительные числа, причем числовой n П о к а з а т е л ь н а я функция £ = , » * + = а =е*(cosy + / s i n j / ) удовлетворяет соот­ ношению e e = e + и имеет период Zx z% z , Z l OO р я д ~ ^ л сходится, то данный комплексс 2тЛ- е 2 Ш = + \; е$ + ь Х)1и = - \ . если л=1 ный ряд сходится равномерно лютно в области G. 0 2 n n и абсо­ k — целое число. П о к а з а т е л ь н у ю функцию можно ставить степенным рядом Z Z 2 пред­ Степенным называется ряд C - f - c i z + + CiZ +...+ CZ+ •.., где коэффициенты Z 8 Z n ^ = | + тт + 2 ! + зг + - + ^ + - - Со» I » ^2» • л « • * * — постоянные ком­ плексные числа, а г — независимое ком­ плексное переменное. Д л я всякого сте­ пенного ряда существует круг с центром в нулевой точке (круг сходимости) и f с сходящимся во всей плоскости. Ф у н к ц и я , обратная показательной, есть логарифм: W = при z = re' 9 с радиусом R (радиус сходимости), Log z = In г H- i (у + 2 А л ) . внутри которого (т. е. при \г \ < R) сте­ пенной ряд абсолютно сходится, а вне которого (т. е. при | г | > /?) ряд рас­ ходится. В некоторых точках о к р у ж ­ ности круга сходимости (т. е. при | г | = R) ряд может сходиться, в дру­ гих расходиться. Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге| г \ ^r, если т < R. Степенной ряд, д л я кото­ рого R > 0, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости. Степенной ряд можно, не меняя его круга сходимости, дифференцировать и интегрировать почленно с к о л ь к о угодно раз. Радиус сходимости степенного ряда OO Это функция многозначная (k—лю­ бое целое ч и с л о ) . Г л а в н о е значение логарифма, обозна­ чаемое через l o g г, подчинено у с л о в и ю — < Im l o g Z < я. Степенная функция многозначна, если а лым числом. Тригонометрические sin Z e iz w = Z = не является a e * це­ nLo z функции: ,—/г COS Z + e- t 2 2 ctgСОЭ Z 2 CtZ определяется по ф о р м у л е К о ш и — i-o i sin г cos z sin - ' 13*