* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЛАВА Ф У Н К Ц И И VIIJ П Е Р Е М Е Н Н О Г О * К О М П Л Е К С Н О Г О ОСНОВНЫЕ понятия t Функция комплексного W = / ( г ) , где г = х + iy переменного W = и + iv t определена, если известны две веществен­ ные функции от д в у х вещественных переменных: и = и (JC, y) v = v (JC, у ) . t Е с л и г = JC + /у — к о м п л е к с н о е пе­ ременное, а а = а + i 6 — такое посто­ янное число, что I г —о|->- 0 , то говорят, что комплексное переменное г стре­ мится к пределу о, и пишут: lim г = Пример. Если W = Z , то и + Iv = ( х + /у)" = ^ X — у + 2/ху, т. е. и = X — у , P = 2ху. 1 1 1 1 1 Функция образование W = (или f (z) дает точенное отображение) пре­ пло­ скости Z на плоскость w: каждая точка Z\ переходит в соответствующую точ­ ку w\\ кривая X = JC(OP У = у(() пере­ ходит в кривую и = и\х ( 0 . у ( 0 Ji = c U ( 0 » .У ( O l С — параметр); коорди­ натные линии у = с переходят в линии и = и (JC, c) v = v (JC, c) где JC — пара­ метр; координатные линии JC = С\ пере­ ходят в линии и = ü(Ci, 3/), и = f ( c i , 3О, где _у — параметр. ü = t t Пример. W = 2z A-Iz т. е. w-\-lv = 2 ( х + + i y 1 + < ( х - /у) = (2х + у ) + / ( х + 2у), откуда и « 2х H У. V = X -\-2у. Линии у = с перехолят t - а ил» г а. Е с л и г •+ 0 , то г называется беско­ нечно малым комплексным числом. Гео­ метрически у с л о в и е г -> а р а в н о с и л ь н о т о м у , что аффикс г б е с п р е д е л ь н о при­ ближается к аффиксу а. У с л о в и е H m (JC + iy) = а + ib равно­ с и л ь н о тому, что H m X= a H m у = Ь. П о э т о м у основные теоремы о пределах, установленные д л я вещественных пере­ менных, остаются в с и л е и д л я комплекс­ ных переменных. Е с л и | z | -> о о , то го­ ворят, что Z -> оо, или l i m z = 00. Непрерывность функции комплекс­ ного переменного определяется так же, как и в с л у ч а е функции вещественного переменного. Непрерывность функции W = f(z) если W = и + iv равно­ сильна непрерывности функций u(x y) и V (г, у ) . t t t t = 1 1 «J У *» «S к и И «о w-2z+i2 Ряд = 1 OO 4 с комплексными членами n У, л=1 W= n W + W2 + . + W + . . . , где W = и + iv , называется сходящимся, если S = Wi + Wz + .. •+ W имеет пре­ дел S при п ->• со; S = H m S называется n п n n n n л — оо суммой OO ряда. Сходимость 2 w комплексного сходимости СО OO Фиг. 1. Отображение, осуществляемое функцией комплексного переменного w 2z -\- iz • ряда n равносильна л=1 двух вещественных рядов 2 в линии и = 2х H- с, V = X + 2с т. е. в прямые и , 3 V — - г - H ~тг - линии X в= с, переходят в прямые V B 2 S - З с , (фиг. 1); заштрихованная область (квадрат) переходит в заштрихованную (ромб). % с "л и 2 л=1 °п* Л=1 t * См. литературу на стр. I4bj, [47]. 349: [43], 144], [45], если при этом сумма первого веществен­ ного ряда есть с, а второго b то сумма комплексного ряда s= a + ib. Комплексный ряд называется абсо­ лютно сходящимся, если сходится ряд модулей |tfrVi| + \и>э\ +. . . + \w„\ +. - .