* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ дЧ Oy дх = Z s 2 x y (•*• У) =fxy(x* Dl Kx y t У) у); ! Z i (х. У) дЧ охду = дЧ = Z fy (x> X Если функция дифференцируема в точке ( х , у ) , т о постоянные A В всегда оказываются равными частным про0 0 t нзводным -г-, y)~fyx(x. D- f(x. yx dz У) у); дх -гду . dz в dz . этой , точке; dz . сле- довательно, dz — - 5 — Ax + - 3 — Ду. дх ду J 2 1 (Jf. y) = fyy -/22 (х^У) " D /(х. 2 yy (х, у) у). В соответствии с определением диффе­ ренциала dx — AJC, dy = Ду, поэтому , dz . , dz . dz ~ — dx + — dy. dx ду * Если смешанные п р о и з в о д н ы е f " xy yx и /'' D уЛ непрерывны, то f" f" . При непрерывности частных произ­ водных л - г о порядка значение смешан­ ных производных того ж е порядка за­ висит от числа дифференцирований по каждой из независимых переменных, •но не зависит от порядка дифференци­ рования. Пример. Z — хУ\ — « ухУ" ; 1 •Л у Выражения -^dx частными dz . t ~^dy dz . называются т а к и м об­ дифференциалами] разом, п о л н ы й дифференциал функции есть сумма ее частных дифференциалов. Пример, dz ду" г « In V X + у ' ; ~ дх 1 х» 4 - у ' 1 х у ; dz х" + у' X dX + у dу х» + у ' • дх ду дудх = х у-1 + ух у-\ i n х; Е с л и Z = f (x у ) , причем х = < ( О , р . .. dz d z A c , dz dy у = if ( 0 . T O ^ = dT " t ч ( ф о р R мула полной производной от сложной ^ = х У ду ] (Inx)-. функции). В частности, е с л и Z = / ( J C , у ) , , . rfz dz dz dy a y _ . то _ _ + _ _ . T W Д л я производных 1-го и 2-го порядка о т функции г = f (JC, у) у п о т р е б л я ю т с я часто обозначения Монжа: P = Ф о р м у л ы , аналогичные приведенным выше, имеют место д л я функций многих переменных с л ю б ы м числом незави­ симых переменных. Полным дифференциалом 2-го nopndtca dz_. дх ; q dz = -dJ* t = d4 ду 2 • дЧ ш dx^ дЧ дхду* функции /(лс, у ) называется полный дифференциал от ее п о л н о г о дифферен­ циала 1-го порядка. Т а к , сГ-z= d (dz) дЧ dxi 0*2 + Ф у н к ц и я z=f ренцируемой в (x у) называется t диффе­ ее t точке (X 0t у ), 0 если полное приращение Az = f (х + Ax у + Ду) — / (JC, у ) может быть предста­ в л е н о в форме A z = AAx + BAy + ер, где А, В — постоянные; Ax Ay — про­ и з в о л ь н ы е приращения аргументов; р = t Полным дифференциалом п-го порядка — V(Ax)* + (Ду)2 и е-> О при р -•.O. Л и н е й н а я часть приращения диффе­ р е н ц и р у е м о й функции, я в л я ю щ а я с я глав­ ной его частью, обозначается посред­ ством dz и называется полным дифферен­ циалом ф у н к ц и и Z (х, у). Т а к и м о б р а з о м , Az = dz + ер. называется п о л н ы й дифференциал от пол­ ного дифференциала ( л — 1 ) - г о порядка. При последовательном составлении дифференциалов б о л е е высокого порядка приращения dx dy dz независимых переменных JC, у, г считаются постоян­ ными. В ы р а ж е н и е дифференциала п-го по­ рядка д л я функции и = / (JC, y г) может t t t