* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

138 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ о б р а з у е т е п о л о ж и т е л ь н ы м направлением оси х. Непрерывная функция / ( х ) , не диф­ ференцируемая в некоторой точке х = X может иногда иметь в этой точке так называемые правую и левую про­ изводные, обозначаемые символами / ' ( х + 0) и /*(х — 0) и определяемые как пределы, к которым стремятся от­ ношения 0 l 0 0 = / ' ( х ) Д х ; дифференциал функции есть главная часть приращения функции: Ay = / ( х + Д х ) - / ( х ) - / ' ( X ) Дх + е; при стремлении AJC К н у л ю величина е будет бесконечно малой б о л е е высокого порядка по сравнению с Ах. В частном с л у ч а е для у х имеем dx — Дх, поэтому dy — f (х) dx. Производная 1-го порядка равна отношению дифференциалов: f dy /(X 0 + л) Л f(r ) 0 и /(х 0 - л) — Л -/(X 0 ) (х) = -~•. е с л и величина л стремится к нулю, оставаясь п о л о ж и т е л ь н о й . В этом с л у ­ чае график непрерывной функции имеет так называемую у г л о в у ю т о ч к у , абсцисса которой равна х (фиг. 3 ) . Кривая называется кусочногладкой, е с л и она имеет конечное число у г л о в ы х точек; при этом у г о л наклона касатель­ ной к кривой является непрерывной функцией абсциссы переменной точки 0 Геометрический смысл дифференциала поясняется фиг. 4 . У Y Фнг. 4. Геометрическое истолкова­ ние дифференциала функции. 0 *р 4 Дифференциал л - г о порядка опреде­ л я е т с я как дифференциал от дифферен­ циала ( л — 1)-го порядка. Дифференциал аргумента считается при этом постоян­ ным. Т а к и м образом: (fly Г (X) dx*.... dy n - f in) (X) n dx". Фиг. 3. Угловая точка. кривой во всех промежутках, соответ­ с т в у ю щ и х участкам кривой между у г л о ­ выми точками. Второй производной функции назы­ вается производная от производной <*2у Дифференциал л - г о порядка d y яв­ л я е т с я бесконечно малой л - г о порядка по сравнению с дифференциалом dx, если последний стремится к н у л ю . П у с т ь у = / (и) и и = < ( х ) . Ф у н к ц и я р У / I ? (х)] — у ( х ) называется и этом с л у ч а е сложной функцией переменной х. = Производные сложной ^ dX функции: <*> _ , -^L E /* ( J ) F I третьей от производной — производной производной от (х). ( л — 1)-Й Производ­ Hm AJT-O У ( * + * * ) - У ДХ производная —f m второй л-й (х); вообще называется производная — / ( л ) производной: g - / * (и) W Wl 2 + / ' («) Г (х)\ ные четвертого и б о л е е высокого поряд­ ков часто обозначаются римской цифрой без скобок, например / (х). Дифференциалом, функции называется произведение производной на произ­ вольное приращение аргумента: dy = I V + ЪГ W <р' (X) f (X) + / ' (и) 7 W (X) и T д.