* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О И С Ч И С Л Е Н И Я П7 обозначаемые f{a+ 0) = символами Wmf [а + h-0 / [a H- 0) IlmZW; х-л-f-O и / (а — 0 ) , так что А) = / ( а _ 0 ) = Игл / ( а — л ) = ft-0 (Л > 0). 11т/(х); х-а—О а, Если /(дс) непрерывна в точке х = то имеют место равенства / ( д _ 0 ) - / ( 0 ) - / ( а + 0). Ф у н к ц и я , непрерывная в каждой точке отрезка \a Ь\, называется непрерывной на отрезке Ia Ь]. П р и этом в точке а требуется л и ш ь непрерывность Cnpaea т. е. соотношение / (а + 0) = / (а), t t t а в точке b — непрерывность слева, т. е, соотношение / (а — 0) = J (а). Если при X = а оба предельных зна­ чения функции / ( х ) (справа и с л е в а ) существуют и конечны, но не равны между собой, то говорят, что при х = а функция имеет точку разрыва 1-го рода. Ф у н к ц и я имеет при х = а точку раз­ рыва 2-го рода, если не существует по крайней мере одного из предельных зйачений функции — справа или слепа; в частности, это имеет место, если функция стремится к бесконечности в OKpfHrrHOCTH точки а, т. е. если по крайней мере одно из значений функции / (а + Л) или f (а — п) стремится к бес­ конечности при h —• О (Л > 0 ) , Примеры: речке и имеет на нем н а и б о л ь ш е е и наи­ меньшее значения. Н е п р е р ы в н а я функ­ ция между любыми своими д в у м я зна­ чениями обязательно принимает все промежуточные значения. Ф у н к ц и я у = f (х) называется неубы­ вающей на отрезке [а, 6 ] , е с л и при а < х < х < 6 всегда ZW) < / U J ; если же при том же условии всегда Z W ) > Z W ) » функция Z W назьшается невозрастающей на отрезке [а, Ь]. Неубывающие и певозрастающие функции вместе о б р а з у ю т класс моно­ тонных функций. Монотонная функция может иметь точки разрыва т о л ь к о 1-го рода. Моно­ тонная ограниченная в п р о м е ж у т к е ( с , Ь) функция имеет в точке а правый, а в точке Ь — левый предел; здесь под буквами а и b можно подразумевать л и б о действительное ч и с л о , л и б о олин из символов + о о или — оо. В частности, если возрастающая числовая последова­ тельность ограничена с в е р х у , то она сходится (т. е. имеет предел при л - > о о ) . Производная и дифференциал. Пусть функция у = Z (х) непрерывна на неко тором отрезке. Е с л и аргументу X дать приращение Дх , т. е. от точки х перейти к точке X + Дх , то ф у н к ц и я у получит приращение Ду « • / ( х + Д х ) — г 2 0 0 0 0 0 с 0 -Z(X 0 ). Отношение /fx n + Дх ) 0 -/(X ) t Дх 0 { 1, если ж > 0; 0 . х - 0 ; -V x<0i в точке 0 функции не непрерывна ни слева, ни справа: разрыв 1-го рода 1фнг. 1). Ц - Ur > 0 ) \ X (х < 0) дает среднее приращение ф у н к ц и и , рас­ считанное на единицу приращения аргу­ мента. Предел этого отношения при Ax O если он с у щ е с т в у е т , назы­ вается производным числом функции /(X) в точке X . Е с л и функция имеет произ­ водное число в каждой точке отрезка, то говорят, что она имеет производную функцию на этом отрезке. Обозначения производной: 0 e 0 J 1 Q -1 м Фиг. 2. Разрыв второго рода. - D / ( X ) - Hm Д Х - * и ДХ Hm Ax — ^ f(x + *x)—f( Дх г) Фиг. 1. Разрыв первого ррда. иыеет в точке 0 разрыв ^ r o рода бесконечный скачок) (фнг. 2). Ф у н к ц и я у — / (дс), непрерывная на я отрезке [а, Ь\, ограничена на этой OT- Ф у н к ц н я , имеющая п р о и з в о д н у ю , на­ зывается дифференцируемой. Дифферен­ цируемая функция непрерывна, но обрат­ ное не всегда и меет место. Е с л и функция у ZW изображена кривой в декартовых координатах, го f (х) t g д, где а — у г о л , который касательная к кривой в данной точке e