* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ Т35 сверху (или снизу) на множестве M 9 есл и существует ч и с л о С та кое, что /(х) < С [ и л и f (х) > C l д л я всех х, принадлежащих множеству М. Бесконечно б о л ь ш а я величина Функ ция у = / (х) называется бесконечно большой при х а е с л и I l m |у| = + с о . ъ 1 — cos а есть бесконечно малая 2-го порядка отно сительно а. „. ,. ein .г г) Um = I следовательно, х н s i n х — равносильные бесконечно малые при х - * О . х-»0 1 х х+а Бесконечно большая величина либо стремится к T - C O л и б о стремится к — о о , либо не стремится ни к какому пределу, принимая значения то п о л о ж и т е л ь н ы е , то отрицательные, но по абсолютной величине безгранично возрастающие. 1 Основные свойства бесконечно малых. П у с т ь о, р, т , . . . — бесконечно малые при X а\ тогда: 1) ± ß ± f ± . . . — бесконечно м а л а я , если число с л а г а е м ы х ограничено; 2 ) O - U — б е с к о н е ч н о м а л а я , е с л и и -«¬ ограниченная при IJC-а\<^т\, где Tj — достаточно малое положительное число; a Пример, у « (— 1 ) . п при л - • O O ( л — целое) есть бесконечно большая, предела не имеет. л 3) — — бесконечно и малая, если Бесконечно м а л а я величина. Функ ции у — / ( J C ) называется бесконечно ма лой при JC - > А, если I l m у — 0. х-*а Iim и 0. х- а Примеры: X 1 Основные теоремы о пределах 1) I l m А = А (А — п о с т о я н н о е ) ; 2) + 1) сов х — бесконечно и малая при — , так как Hm cos х =» 0. х-а I l m [/ ( х ) + ? ( х ) - ф (х)| = х—а llm/(x) + I l n n p ( X ) — Jlm ф(х); х-а х—а 2) -^- — бесконечно малая lira X при х — ± оо, так X 3 ) I l m [/ ( X ) у (X) ф ( X ) ] = H m ^ (X) I i m ^ ( X ) ; l i m / (х) X — = U. X - ± оо х—а 4) Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно б о л ь ш а я . В Если I i m — = » 0 , то говорят, а-*-О а Ilm - 4 - г — *~* . , , если х-а? W Hmf(X) д f(x) х-а i'™ /(Jf) что ß — Hm у ( х ) бесконечно малая б о л е е высокого по рядка, чем а. Е с л и порядок бесконечно и х—а 5) + 0. х—а малой а принят за единицу и H m — = а-О Если < р ( х ) < / ( х ) < ф ( х ) и I l m < ( х ) =• I l m ф ( X ) = Л т о р а п = А 0 , где А — постоянное число, то В — бесконечно малая порядка п. Д в е бесконечно малые а и ß назы ваются равносильными о (эквивалент- ными), если U m — = 1. Е с л и \Ъ = а + в + е, где a ß, е — бесконечно малые, причем е — бесконечно малая высшего порядка по с р а в н е н и ю с а, то а назы вается главной частью ß; тогда а и р — равносильные бесконечно малые. f Примеры: D Um а-0 1 — сое а 2 Sln • Ilm а-0 1 Iiin / ( х ) — А х-я Признак существования предела после довательности Для того чтобы по с л е д о в а т е л ь н о с т ь чисел