* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 129 9) Умножим JT = 3,2 на значения коэффициен­ тов а, в трех первых приведенных уравнениях и запишем полученные произведения (1,0: 0,51; 7,0) в колонку а в верхние строчки граф 1—3. 10) Произведения O X и OX записанные в гра­ фах 1—3, вычтем из соответствующих свободных членов приведенных уравнений и получим три значения для X : 6 . 8 4 - 1 , 0 - 0 , 5 7 » 5,3; 20,5—0,51— —15 = 5,0; 13,6—7,0—1,4 = 5,2; вти значения запи­ шем в кодонку .Решение", а их среднее арифме­ тическое — внизу таблицы. 11) Подстановкой в данную систему уравнений убедимся, что числа 5,2; 3,2: 4,4 дают решение системы с точностью до двух знаков. x х t x 9 9t буемой точностью с л е д у ю щ и е равенства: v m А . „т A А 1 . т А A 1 . А т п-1 1 1 Zl-I А A n 1 *л-2 ' ПРИБЛИЖЕННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПО М Е Т О Д У Пусть + OiX а РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО* OX 0 n уравнение + .. а + а^х ~ п х + и n-2 -+• а п = 0 имеет корни а Ь °3» • • • . n п- Составление по данному т а к о г о урав­ нения N A Z +A Z -* 0 1 n + 2 п A 2 Z n - 2 + . + + A = O корни которого будут - O p — а\ — 03 — а , называется T у квадрированием. Коэффициенты преоб­ разованного уравнения вычисляют по формулам AQ = а\; 9 A = а — 2 д а ; A = а] — I 2 0 2 2 — 2fl,a - h 2floa ; A 4 3 = aj — IO Q 2 K + 2 п + 2а а х ь — 2ооД ; • • - ; A i = в . в Выполняя квадрирование последова­ тельно k раз, приходят к у р а в н е н и ю , корнями — a™ которого — ajj , 1 будут — а™ , где т = — I L 1 2 2 называется степенью квадрирования. Сущность метода Л о б а ч е в с к о г о состоит в образовании по данному уравнению путем ряда квадрирований нового урав­ нения, корни которого были бы с т о л ь высокими степенями корней данного уравнения, чтобы по коэффициентам пре­ образованного уравнения можно б ы л о вычислить с требуемой точностью корни данного уравнения. Это делается с л е ­ дующим образом. Пусть все корни данного уравнения — вещественные и различные: «1 > a из которых и получаются абсолютные значения вещественных корней. Знак каждого корня о п р е д е л я ю т , подставляя его со знаками плюс или минус в дан­ ное уравнение. В с е г о квадрирований н у ж н о с д е л а т ь с т о л ь к о , чтобы в последнем преобразо­ ванном уравнении каждый коэффициент стал равен (с требуемой точностью) квадрату соответствующего коэффициен­ та предпоследнего у р а в н е н и я ; при вы­ числениях с помощью логарифмов л о ­ гарифмы коэффициентов преобразован­ ного уравнения о к а ж у т с я в 2 раза больше логарифмов соответствующих коэффициентов преобразуемого уравне­ ния. В этом с л у ч а е говорят, что коэффи­ циенты при квадрирований изменяются правильно. Ч и с л о квадрирований тем меньше, чем б о л ь ш е отличается от единицы отношение наиболее б л и з к и х по абсо­ л ю т н о й величине корней и чем меньше требуемая точность. П р и вычислениях с пятью-шестью знаками достаточно в большинстве случаев шести-семи квад­ рирований. Е с л и некоторые коэффициенты д а н н о г о уравнения при последовательных квадрированиях не показывают тенденции возводиться в квадрат (в подобном с л у ­ чае говорят, что эти коэффициенты изме­ няются н е п р а в и л ь н о ) , то данное урав­ нение имеет л и б о кратные, л и б о ком­ плексные корни, л и б о и т е , и д р у г и е . Если при квадрированиях какойл и б о коэффициент A меняет свой знак и расположен между правильно изменя­ ющимися коэффициентами A — i A-fii то это является признаком наличия в данном уравнении простой пары сопря­ женных комплексных корней р ( c o s < - t р ± / s i n ? ) , модуль которых определяют с заданной точностью по ф о р м у л е I и Z > а э > - -• > а п - \ > а п- Тогда при достаточно б о л ь ш о м числе квадрирований б у д у т справедливы с тре­ * Этот метод опубликован Н. И. Лобачевским в 1834 г.; см. литературу на стр. 351 [117]. [151]. Том 1 Зак. 1461 У A -I I Е с л и в том ж е уравнении имеются пары смежных коэффициентов, например.