* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 127 Производим вычисления; b — O . 0 ai = ?(On). a Oa — < i<*i) Р t = а / (а) = — - 0,8333; — Ч K - i ) . Zi-I-I = P Ю • • • стремится > к пределу а = I l m a то этот предел nt Л 0 lt 2t —OO / ( ) . - 0,6986; / ( ¢ , ) - = 0,0398; /'(i>,) = 10.1118. в| а, = а, — ö, — д. / (а,) = 0,9049; Z(^ ) 1 = 0,9051. / ' (*t) Таким образом, искомый корень X лежит в пре делах 0,9049 < X < 0,9151, т. е. с точностью до OfiOl X 0,905. 0 0 0 Е с л и х = JC , у = Уо — п р и б л и ж е н н о е решение системы уравнений Z (х, у ) = 0 , /г (*» у ) — 0, то б о л е е точным решением является 0 1 *1 а j r O+ дх ' ду ' O f h 2 ду X =я X 0 дх У =Уо df h x У\ - .Уо + ~Sx~ ~S~x df 2 и является корнем данного уравнения. Ч и с л а O , a a ..., а ... будут п р и б л и женными значениями д л я корня у р а в нения, причем эти п р и б л и ж е н н ы е зна чения д о л ж н ы стремиться к корню у р а в нения по мере возрастания номера при б л и ж е н и я п. На практике ведут вычисления, т. е. повторяют подстановки д о т е х п о р , покадва последовательных приближенных значения не о к а ж у т с я равными в пре д е л а х тех десятичных з н а к о в , с какими ведется вычисление. Итерации дают последовательные при ближения к искомому корню тогда» и т о л ь к о тогда, когда | ч>' (JC) | < 1 в окре стности корня, в частности в точке х=а^ Е с л и I <р' ( A ) I > 1, то д л я п р и м е н е н и я способа итераций уравнение х = ч ( х ) > заменяют уравнением х = ^ ( х ) , где4 ( х ) — функция, > обратная функции. < (х). Р П о г р е ш н о с т ь каждого нового п р и б л и жения будет равна погрешности пред шествующего приближения, умножен ной на п р а в и л ь н у ю дробь | ч/ (O0)I» если процесс сходящийся. п> 0 df\ öt\ äfo X = X 0 . дх ду ду дх- Эти формулы могут п о с л е д о в а т е л ь н о повторяться, как в способе Ньютона д л я уравнения с одним неизвестным. Метод итераций Пример. Найти наименьший положительный* корень уравнения х = t g х . Построив графики функций у = х и у = tg; .г, увидим, что наименьший положительный корень Зтс Эл уравнения близок к — , поэтому полагаема,,= — = •= 4,7124 (см. табл. I). Так как ( t g х ) ' •= зес х > 1 то данное уравнение заменим уравнением х =»•= Brctg X и вычисления ведем по схеме, поль зуясь таблицами Б. И. Сегала и К. А. Семендяеоа {см. стр. 351 [155]): 1 1 Простейшим способом исправления приближенного значения корня уравне ния X , найденного с н е б о л ь ш о й точ ностью, является метод итераций (тер мин „ и т е р а ц и я " означает . п о в т о р е н и е " ) . Приведем данное уравнение к виду х = <р(х), что л е г к о сделать, переписав уравнение / (х) = 0 в такой о)орме: х = х + / ( х ) и обозначив п р а в у ю часть этого уравнения через « (х). Подставим р исходное значение корня O в правую часть уравнения х = <р(х) и получим первое п р и б л и ж е н и е корня а = у ( O ) ; подставив а\ в п р а в у ю часть уравнения, получим второе п р и б л и ж е н и е O =^(O ) и т. д . Если при надлежащем выборе функ ции < (х) р последовательность чисел 0 0 х 0 2 i Ял-1-1 - a r c t g а п О 1 2 3 4,7124 4,5033 4,4939 4,4934 4,5033 4,4939 4,4934 4,4934 Получим корень а — 4,4934 четвертого десятичного знака. с точностью до- Метод итераций систем уравнений, уравнений типа X =