* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
126 получим
РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИИ
при помощи метода л о ж н о г о п о л о ж е н и я ; вычисления ведутся по ф о р м у л а м ах
а —
Б о л е е точное, чем Ь, значение корня с избытком (bi) в этих д в у х с л у ч а я х п о л у ч а е м , заменяя д у г у AB касатель ной к этой д у г е (способ Н ь ю т о н а ) в точке В, т. е. в точке, где f(x) и f (х) одного знака, и принимая т о ч к у bi пе ресечения касательной с о с ь ю х за новое п р и б л и ж е н н о е значение корня X ; вычисляем по ф о р м у л е
fi
/(g)
/' {а)
.
9
Ь. =
6
-
Ь— а f(b)-f(a)
/(b)-
и
bi b
- -fW)'
*0
0 . / * ( х ) < 0 .
Фиг. 9. Постепенное уточнение корней уравнения методом хорд и касательных.
х с недостатком получаем при помощи метода Н ь ю т о н а , т. е. проводя каса т е л ь н у ю в точке А [где опять / ( х )
0
отрезке [а, Ь] и если метод Ньютона применяется к тому концу д у г и , где
f (х)
^ > • 0. Картина постепенного уточ нения корней уравнения показана на фиг. 9 . Знаменатель в ф о р м у л а х Ньютона при этих вычислениях можно о с т а в л я т ь неизменным, т. е. / ' (а) или f (Ь) на менять соответственно на f (a\) f (O ) ...
t
2 t
или f(bi)
t
f'(b ).
2 9 1
Фиг. 8. К методу хорд и касательных для случая /(a) > 0 , / (Ь) < 0 , / " ( х ) > 0 .
и Z (X) одного з н а к а ] , а б о л е е точное значение корня с избытком получаем
m
Пример. Вычислить близкий к 1 корень уравнения х* — Зх + fix — 5 = 0 с точностью до 0,001. Обозначая / ( х ) = X — Зх -|- Sx — 5, убе ждаемся подстановкой, что / ( 0 ) = — 5; / (1) « • 1. Находим / ' fx) - 4х» - Эх» + 1бх; / " ( х ) = 1 2 х * — lRx-j-lö. Корни уравнения / " (х)=> 12х" - ? 1 8 х + -|-16 = 0 — мнимые, причем f (1) = 10 > 0, так же как f (0) > О. Отсюда следует, что на отрезке [0, 1 1 / ' fx) возрастает; действительно, / ' (0) — 0; /'(IJ = I l следовательно, / ' ( х ) > 0 на отрезке [0, 1] и / ( х ) — монотонна на втом отрезке. Имеем случай, изображенный на фиг. 5. Для вычислений имеем данные: а = 0; b — 1; / (а) — — б; f(b) — 1; /' ¢ ¢ » ) - 1 1 .
t 3 1 tt 1
