* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 125 Промер. Системе уравнений X - I - J V 25, Jty — 1 2 соответствуют окружность радиуса Б с центром в начале координат и равнобочная гипербола, отнесенная к асимптотам. График пока1 1 h \ < 1 \ рень уравнения, а числа а и b могут быть приняты за его первое п р и б л и ж е ­ ние: с недостатком (число а) и с избытком ( ч и с л о о). Возможны следующие случаи: D /<в)<0; /(*)>0; отрезке [a Ь] (фиг. 5); t / " ( * ) > 0 - н а / * М < 0 - н а /-(jcXO-iia /*(ж)>0-на / 3 1 2 ) / ( а ) > 0 ; /(b) <0; отрезке [а, Ь] (фиг. 6 ) ; 3) / ( « ) < 0 ; / ( f t ) > 0 ; о т р е з к е [а, Ь] (фиг. 7 ) ; 0 3 4 J X ('4-3 ( 4) / ( а ) > 0 ; / ( & ) < 0 ; отрезке [а, Ь] (фиг. Ь). -з В* / Точки А и В кривой соединим хордой и точку пересечения ее с о с ь ю х примем Фиг. 4. Графическое решение системы уравнений х + у = 25; ху 12. 1 1 аывает (фиг. 4), что все четыре решения системы действительные: X = — 4; у <= — 3; х , = - 3; у, = - - 4 : х , = + 3 ; у , « + 4 ; х = + 4: у, = + Э . 1 х 4 Д л я графического решения уравне­ ний применяются т а к ж е номограммы {см. г л а в у , Н о м о г р а ф и я ' ) . Графические методы применяются, когда требуется найти т о л ь к о п р и б л и ­ женное решение и л и сделать предвари­ тельный расчет д л я б о л е е точного ре­ шения численными методами. Л Фиг. 5. К методу хорд и касательных для случая / (а) < 0, / <©) > 0, Г ( х ) > 0. за новое п р и б л и ж е н н о е значение корня X заменяя тем самым д у г у AB хордой AB (метод л о ж н о г о положения). ftt ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ Метод хорд и УРАВНЕНИЙ касательных Если действительные корни уравнения отделены, TQ задача вычисления корней сводится к д а л ь н е й ш е м у уменьшению промежутков, в которых з а к л ю ч а ю т с я корни. Существуют р а з л и ч н ы е методы, позволяющие у с к о р и т ь этот процесс; остановимся на комбинированном при­ менении двух методов: л о ж н о г о п о л о ­ жения (простого и н т е р п о л и р о в а н и я ) и метода Н ь ю т о н а . Пусть графически или вычислением обнаружено, что вещественный корень уравнения / (х) = 0 л е ж и т между чис­ лами а и b If (а) и / ( £ ) — р а з н ы х з н а к о в ] и при этом / ' (х) и JT (х) нигде на от­ резке [а, Ь] не обращаются в н у л ь , с л е ­ довательно, с о х р а н я ю т свой знак на всем отрезке. Тогда между а и b л е ж и т только один вещественный простой ко­ Фиг. 6. К методу хорд и касательных для случая / (а) > 0. / (Ь) < 0, f ( х ) < 0. В первом и втором с л у ч а я х точка пересечения а\ (фиг. 5 и 6) дает б о л е е точное, чем с, значение корня X с не­ достатком; вычисляем по ф о р м у л е 0 fll = a - / ( д ) ;