* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ 123 Продолжение Значение параметра а Наимень­ ший корень Значение параметра а Наимень­ ший корень 1,00 1,50 2,00 3,00 4,00 5,00 0,86 0,99 1,08 1,19 1,26 1,31 10,0 30,0. 100 <1 > OO б о л ь ш и й общий д е л и т е л ь — п о с т о я н н о е число, отличное от н у л я ) . К функциям / (JC) и / ' (JC) присоединим ряд новых функций f i (JC), / г С * ) , со­ ставленных следующим о б р а з о м : Z (х) есть остаток от д е л е н и я / ( J C ) на f (JC), взятый с обратным знаком; / (JC) — оста­ ток с обратным знаком от д е л е н и я f (х) на fx (JC), и т. д . , пока не придем к по­ стоянному ч и с л у . 1 2 Составляется 1,43 1,52 1,563 ряд функций Штурма: / С * ) . / ' ( * ) . / i С*), h (х). /з ( * ) , . . . П р и составлении функций Штурма положительные постоянные множители не играют р о л и ; такие множители можно вводить или отбрасывать д л я у п р о щ е н и я вычислений. Обозначим через 5 (а) ч и с л о перемен знаков в ряду функций Ш т у р ­ ма при X = а; тогда имеем теорему Штурма: S (а) — S (b) = А, где h — 3) t g X — t h х; х = 0; j c i = 3,927; Jc = = 7,069; JC = 10.210; JC = 13,352; Jr = — 16,493; при п > 5 х « 16,493 + п X X (п - 5 ) . 4) t g JC = — t h JC; X = 0; X => 2,365; JC = 5,498; при п > 2 JC„ « 5,498 + * X X (л-2). 0 2 3 4 5 п Q 1 3 ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ Модуль любого корня, действительно­ го или комплексного, многочлена f (х) — «= OX 0 n + (I X 1 n 1 + . . . + а п меньше числа — г + 1, где А — наибольший из ь п модулей коэффициентов а аг, . . . , а . Все действительные корни многочлена f(x) заключаются внутри промежутка Отыскание п р о м е ж у т к о в , в каждом из которых л е ж и т один и т о л ь к о один действительный корень у р а в н е н и я , на­ зывается отделением корней. Метод Штурма отделения корней применяется к многочленам с действи­ тельными коэффициентами, но имеющим только простые корни; поэтому нужно освободить многочлен / (х) от кратных корней. Д л я этого с л е д у е т : а) найти наибольший общий д е л и т е л ь D (х) многочлена / (JC) и его производ­ ной f (JC) (СМ. сноску на стр. 1 5 9 ) ; б) разделить / (JC) на D (х). fix) Многочлен Q ( j c ) = I V . имеет те же D (JC) корни, что и / ( J C ) , но простые. Пусть / ( J C ) — многочлен с действи­ тельными коэффициентами, не имеющий кратных корней, т е. взаимно простой со своей производной / ' (JC) (их наи­ t число корней функции / ( J C ) в п р о м е ж у т к е (а, 6 ) , причем а <^Ь. Теорема Штурма позволяет прежде всего определить ч и с л о всех действи­ т е л ь н ы х корней. Д л я значений X до­ статочно б о л ь ш и х по абсолютной вели­ чине, каждая из функций Ш т у р м а имеет знак своего старшего члена; поэтому можно легко найти число перемен знаков в ряду функций Ш т у р м а д л я достаточно б о л ь ш и х п о л о ж и т е л ь н ы х и отрицательных значений JC, т. е. 5 ( + с о ) и 5 ( — о о ) . Тогда 5 ( — с о ) — 5 ( + с о ) дает число всех действительных корней функции / (JC). Д о п у с т и м , что действительные корни многочлена f(x) содержатся в проме­ ж у т к е (а, Ь). Разбивая этот промежуток на б о л е е мелкие промежутки, можно, п о л ь з у я с ь теоремой Ш т у р м а , опреде­ л и т ь число корней, содержащихся в каждом из них. Е с л и в некотором про­ межутке содержится б о л е е о д н о г о корня, то его можно снова разбить на б о л е е мелкие. Этот процесс п р о д о л ж а е м до тех п о р , пока каждый корень не ока­ жется заключенным в о т д е л ь н ы й про­ межуток. 1 Пример. /(X) = J c - 6х* + 8jr«-I- Ax - 4. Составляем функции Штурма: 4 -1 /' (X) = 2х* - 9х» + 1 SJT + 2; /, ( х ) = I I J T - З б х + 1 0 ; /,(дг) = 7 х - 16;