* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

118 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ранг г — % так как все определители 3-го порядка матрицы — нули, но среди определителей 2-го по­ рядка есть не равные нулю: 1 1 2 -2 — 4. Система т линейных ураннепий с п неизвестными совместна тогда и т о л ь к о тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В . Е с л и г — л , то имеем л независимых урав­ нений с л неизвестными; отбросив за­ висимые у р а в н е н и я , решаем систему по формулам Крамера и п о л у ч и м единствен­ ное решение. Е с л и г < л , то число не­ зависимых уравнений ( г ) будет меньше числа неизвестных; перенеся п — г л и ш ­ них неизвестных (свободные неизвест­ ные) в правые части, решим систему относительно о с т а л ь н ы х г неизвестных; задавая свободным неизвестным про­ извольные значения, п о л у ч и м бесчислен­ ное множество решений. Примеры: 1. Система X l вое решение). Д л я того чтобы система л однородных линейных уравнений с л неизвестными имела н е н у л е в ы е р е ш е н и я , необходимо и достаточно, чтобы глав­ ный о п р е д е л и т е л ь системы б ы л равен нулю. Д л я системы д в у х однородных урав­ нений с тремя неизвестными а%х + Ьгу + C Z 2 0. J е с л и ранг матрицы системы равен двум, получаем bn с1 2 C C 1 2 A I о\ 1 2 «2 или k\ IЬ bxcx 2 C C 2 1 A A 1 A а 1 I C 2 2 г ь\ 2 - X t + а 2х я = 1; х , — 2дг — х , = 2; Sx l —X t H - Bx =* 3; t к — произвольный м н о ж и т е л ь пропор­ циональности, а все три о п р е д е л и т е л я 2-го порядка п о л у ч а ю т с я из матрицы A A 1 - 2 ^ : , 4 - 2 ^ , + 3^. = - 4 ^ Ь 1 C 1 последовательным a 2 вычер- совместна, так как матрицы А и В имеют одина­ ковый ранг г - 3, и допускает единственное реше­ ние. Отбрасывая четвертое уравнение, из первых lü 1 2 трех получим X — —^- ; X — ; X 7' 2, Система 1 1 1 C 2 киванием столбцов ( д л я среднего неиз­ вестного столбцы полученного таклм образом о п р е д е л и т е л я 2-го п о р я д к а ме­ няются местами). JT — JC, + i 1 1 JT ь t — х = 1; 4 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ X — X — х + х = 0; х, - X — 2х, H- 2х 1 4 -I А л г е б р а и ч е с к о е уравнение л - й степени r P (X) = OoX n + O X l n 1 H- O X ' 2 n 2 + ... совместна, так как матрицы А и В имеют одина. ковый ранг г — 2, но здесь г < л , поэтому си­ стема имеет бесчисленное множество решений; первые два уравнения независимы (определитель из коэффициентов при X и X в этих уравнениях не равен нулю); отбрасываем третье уравнение н переносим свободные неизвестные X н X в пра¬ вую часть: получаем X •= X — т - ; X •= х -\—->, 1 j 1 4 1 1 1 ( ... + в я - 0 имеет л корней, вещественных и л и ком­ п л е к с н ы х , различных или равных; ко­ рень уравнения Р(х) = 0 называется корнем многочлена t P (х). Если о — ко­ рень P(X) то Р(х) делится на (х — о ) без остатка; в общем с л у ч а е остаток от деления P (х) на (х — а) равен P (а). Если P (х) делится на (х — а ) * , 1 Однородная Яц-*1 + A JTi + 21 система ... + уравнений *1л*л 2n n в но не "12*2 + ^ 2 2 0; = . 0; ' X 2 + . . . H- O X * <*т\Х\ + а • тг*г • + . . . И" O X mn n • — 0 , делится на (х — а ) * + , то а называется Ä-кратным корнем уравнения P (х) = 0; в этом с л у ч а е а является о б щ и м кор­ нем многочлена P (х) и е г о производных до (k — 1)-го порядка включительно, Т. е. P (а) = P (а) = Р* ( а ) = =f всегда совместна (jci = х\ = ... = X = О есть одно из решений системы — н у л е n = />*-1(а) = 0, но P (а) ф 0. Е с л и P (х) имеет корни а, р, 7, . . . соответственно k