* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ C НИМИ 85 Пример. 1 - ( - / 3 / (алгебраическая форма) — В тригонометрической форме = 2 |cos -^- + / Sln - ^ - j (тригонометрическая Ipi (cos f ! + i sin Y 1 ) ] : [ р (cos Y> 2 1 + + форма) = 2e (показательная форма). Если не ограничиваться главным значением аргумента, то ö + i sin Y 2 )] = [ c o s (Y — YÄ) r + /Sin(Yi-V 2 )]. 1 + Vzi = 2 |cos ^j- + 2A*j + + / sin ^j.+ 2Атс )] = 2 е Два взаимно комплексных числа называются сопряженными (обозначаются а и а ) , если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. Точки, изображающие на к о м п л е к с н о й плоскости с о п р я ж е н н ы е числа, распо­ ложены симметрично о т н о с и т е л ь н о дей­ ствительной о с и . М о д у л и с о п р я ж е н н ы х чисел равны, аргументы отличаются знаком: а = а + ß/ = р (cos Y + ' s i n <р) = ре'* ; 1 т. е. м о д у л ь частного равен частному модулей д е л и м о г о и д е л и т е л я , аргумент частного равен разности их а р г у м е н т о в . П р и делении комплексных чисел в алгебраической форме „ у н и ч т о ж а ю т мни­ мость в знаменателе" ( а н а л о г и ч н о уни­ чтожению иррациональности в знаме­ н а т е л е ) , д л я чего у м н о ж а ю т ч и с л и т е л ь и знаменатель на ч и с л о , с о п р я ж е н н о е знаменателю, и п о л у ч а ю т в знамена­ т е л е вещественное число. В о о б щ е вычисления над комплексными числами а + р/ можно производить так ж е , как и над обыкновенными д в у ч л е ­ нами, полагая / = — 1. 2 Примеры: 1) 1 а + р/ а — р/ а» + ß» «•+PiJ _ а - ß/ (а г ßO (а - ß/) а а» -f- р» 3 а» + р» PiO = а — а — р/ = Сложение р (cos у — / sin у ) = и вычитание двух ре " - или не­ скольких комплексных няется по ф о р м у л е («1 чисел выпол­ ' ( » . + Pil) («И - + PiO +' ("2 + P O 2 а («з + •) РзО + + ••• = - + rV = . 1 1 W 1 = 0*1 + *2 — 3 + a,a, + + (Pi + P» — R a + - - - ) / Умножение выполняется д в у х комплексных по ф о р м у л е РгО = («1=2 Ш чисел j p,ßi , Pia, — + pa«, • _ J (3-4/) ( - l + S f ) ' 1 +I3 Oi 1 / (3 - 4Q (1 - 2 IOf - 25) 1+3/ = , 10 + 7/ г 6/ 5/" 7-10/ + («1 H- P i O (*2 + + (10 + 7/) / + (*lP2 + Pi* ) /. 2 Если числа даны ской форме, то Ipi (cos <р, + + 'Sintp )] = 2 в тригонометриче­ 2 2 ( 3 - 4 / ) ( 1 2 . + 5/) 1+3/ . 1 = ~ + + _ "~ = <р ) 2 5 7 -10/ 5 7 - 10/ 5 = / s i n Y i ) ] [ р ( c o s <р P P I c o s («P + 1 2 1 - 2 ( 5 6 —3 3 0 ( 1 - 3 0 ( 1 + 3 / ) ( 1 - 3/) -2(-43-201/) 10 + + / s i n ( f i + «Pz)}» т. е. модуль произведения равен про­ изведению м о д у л е й , аргумент произве­ дения равен сумме аргументов сомно­ жителей. В частности, произведение д в у х со­ пряженных комплексных чисел дает квадрат модуля (т. е. н о р м у ) каждого из них: аа = (а + р/) ( а ßi) = L (50 + 191/) = 10 + 38,2/. Возведение в п степень комплексного числа в тригонометрической форме про­ изводится по ф о р м у л е [р (cos Y + / s i n Y ) ] " n Л С E = a 2 + ß 2 = ^ ( a ) = 7V(a). Деление двух комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. = P (cos « Y + ' s i " Р ) , т. е. м о д у л ь возводится в л - ю степень, а аргумент умножается на п. Эта фор­ мула применима при л ю б о м значении п: ц е л о м , дробном, п о л о ж и т е л ь н о м , отри­ цательном (при дробном п необходимо