* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

66 ДЕЙСТВИЯ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ И КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ а) Предельная абсолютная погреш­ ность алгебраической суммы равна сум­ ме предельных а б с о л ю т н ы х погрешно­ стей с л а г а е м ы х . б ) Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наи­ меньшей из о т н о с и т е л ь н ы х погрешно­ стей слагаемых. в) Относительная погрешность про­ изведения и частного равна сумме отно­ сительных погрешностей сомножителей и л и соответственно д е л и м о г о и д е л и т е л я . г ) Относительная погрешность п-й степени п р и б л и ж е н н о г о числа в п раз больше относительной погрешности основания (как для ц е л ы х , так и для дробных п). П р и м е ч а н и е . При подсчете погрешностей следует иметь в виду указанное выше соотношение а а откуда Примеры-. D D-d A 1 больше d. С какой точностью должны быть взяты VHd? Допуская для Dnd равные предельные абсо­ лютные погрешности, получим (см. выше при­ мер 1) 0ДО т. е. 8 0 < < 0,003 = 0.30/^ а* Погрешность при вычислении зна­ чений какой-либо ф у н к ц и и , аргументы которой заданы п р и б л и ж е н н о , * может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. П о г р е ш н о с т ь функции есть не что иное, как возможное при­ ращение функции, которое она п о л у ч и т , если ее аргументам дать п р и р а щ е н и я , равные их погрешностям. Так как погрешности бывают о б ы к н о в е н н о доста­ точно малыми, то практически вполне допустима замена приращений диффе­ ренциалами. Е с л и известны т о л ь к о пре­ д е л ь н ы е абсолютные погрешности аргу­ ментов, то при вычислении дифферен­ ц и а л о в необходимо д л я всех производ­ ных брать их абсолютные значения. Примеры: 1) у в sin л; dy = cos х dx\ д Д -= I соз X I A ; у jf l y '' P t 5 D+ D a d - = = I cle X IA ; jf D ^ D-a ' • , - f • Г 2) г - V x « + у » ; т ^ Г -^L 2 .г dx X i + + у dy у* j ш * 2) z = / I + * 7 ; 6. 2 ^ . A r + .У A , _ в _L e ( W ) *У Z * + У я 2 1+-гу 3) Найти предельную абсолютную погрешность значения площади круга диаметром 22 мм если погрешность диаметра не превышает 0,05 мм и принято п = 3,14. ltd Из формулы 5 следует: у 1 3) и = е—cos д ц ßy; j r = I ое- соэ pj/ I A - I - I ß * * ~ * * s i n ßy I Ay. b s =5^+26^0,0005+2 . т 0,005. По табл. I I I находим 5 » 3 8 0 , 1 3 3 мм\ следо­ вательно, = 380,133*0,005 м 2 мм\ Отсюда следует заключить, что уже третья цифра числа < япляетгя сомнительной, и резуль­ S тат следует представить в виде 5 = 330 мм* ( ± 2 мм*). Е с л и требуется п о л у ч и т ь результат с определенной точностью, т о , выведя указанным способом ф о р м у л у д л я по­ грешности р е з у л ь т а т а , о п р е д е л я ю т из полученной ф о р м у л ы допустимые по­ грешности первоначальных данных. Пример, р *= I V 0 ^ ; требуется определить р в 5 раз с точностью до D приблизительно При оценке точности результата вычислений по предельным погрешно­ стям нужно иметь в виду, что факти­ чески погрешность результата обычно значительно меньше вычисленной пре­ дельной. Ошибки отдельных этапов вычислений, а т а к ж е погрешности исход­ ных данных нередко оказываются раз­ ных знаков и отчасти компенсируют д р у г д р у г а . Поэтому при не слишком с л о ж н ы х вычислениях р е з у л ь т а т берут с одним лишним знаком по сравнению с тем, что дается оценкой предельных погрешностей. Р а з у м е е т с я , н е л ь з я со­ х р а н я т ь в результате б о л ь ш е знаков, чем в л ю б о м из исходных данных. Д л я функции, значение которой нахо­ дится при помощи таблиц, оценка погрешности может быть произведена крайне просто. Е с л и аргумент задан