* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 4. Можно найти линию пересечения двух ужё построенных по­ верхностей (плоскостей или сфер). 5- Можно взять произвольную точку на ужё построенной поверх­ ности или линии. 6. В ужё построенной плоскости можно производить любые по­ строения, допускаемые в геометрии на плоскости. Эта система постулатов является избыточной. Мы ввели лишние постулаты (например, 3-й) для усиления аналогии с системой посту­ латов для построений на плоскости. По аналогии с геометрией на плоскости можно под решением за­ дачи на построение в пространстве считать сведение ее к основным задачам. Но здесь обнаруживается существенная разница с геометрией на плоскости. Приведенные шесть постулатов составлены по аналогии с постулатами геометрических построений на плоскости, но в отли­ чие от последних они не выражают свойств каких-либо инструментов. На плоскости можно провести прямую карандашом по линейке, а в пространстве нельзя материальным образом провести плоскость че­ рез три точки. Иначе говоря, на геометрические построения в пространстве не может быть точек зрения А и Б, а может быть только точка зрения А. Задачу на построение можно решить словесно, но это построение нельзя реализовать. Выполняемые таким образом (словесно) построения называются воображаемыми построениями. Зачем они нужны? Во-первых, иногда построения используются для доказательства существования некоторого объекта. Во-вторых, воображаемые построения представляют полезное уп­ ражнение и содействуют развитию пространственных представлений. В то же время ясно, что значение этих построений меньше, чем значение построений на плоскости. Возможно и иное истолкование задач на построение в пространстве; оно будет рассмотрено в статье «Методы изображения» (стр. 288—289 этой книги ЭЭМ). 7.3. Пример. Мы рассмотрим только одну очень простую задачу для иллюстрации того, что такое воображаемые построения. З а д а ч а . Из данной точки опустить перпендикуляр на дан¬ ную плоскость. Пусть дана плоскость а и точка М вне ее. Возьмем в плоскости а произвольную точку Р и построим сферу с центром в точке Af, про­ ходящую через Р. Если эта сфера не имеет с плоскостью а общих точек, кроме Р , то MP—искомый перпендикуляр. Если же эта сфера пересекает плоскость а по окружности, то построим ее центр О; МО—искомый перпендикуляр. Мы упоминали выше, что 3-й постулат лишний. Покажем, как можно решить эту задачу, не пользуясь им.