* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
432' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 433' определяется сечением (С, С ) , будем назы числа первой категории; мы получим, та ким образом, дедекиндово сечение, которое вать суммой чисел а ш Ь: замыкается числом х. Путем несложных с = а-{-Ь. рассуждений, которых мы не будем здесь приводить, можно показать, что х = а. Но Положим, в частности, что ак b суть ра не только этот простой сравнительно во циональные числа. Тогда а можно рассмат прос разрешается введением иррациональ ривать как наибольшее число группы А, а ных чисел. Является возможным установить b — как наибольшее число группы В. Ясно, понятие о степени с любым показателем. что в этом случаг а-\-Ъ, т.-е. сумма ра Учение о пределах получает прочную базу циональных чисел а и Ь, как мы ее опре (хотя оно возможно и в области рациональ делили раньше, будет наибольшим числом ных чисел). Непрерывность числового ряда группы С. Сечение (С, С) в этом случае дает возможность установить понятие о не замыкается рациональным числом a -f- b, прерывности функции; становится возмож представляющим собою сумму чисел а и ным показать, что непрерывная функция, b в том смысле, как мы ее определили переходя от одного значения к другому' выше. Число a -J- b замыкает сечение необходимо принимает все промежуточные (С, С), оно им определяется как арифме значения. В геометрии получает разреше тическое число. Иными словами, если два ние вопрос об измерении: отношение лю арифметических числа сводятся к числам бых двух отрезков выражается рациональ рациональным, то сумма, новым определе ным или иррациональным числом (равно нием установленная, совпадает с суммой как отношение двух любых значгний какой этих чисел, установленной арифметикою угодно величины); вопрос об отношениях рациональных чисел. В этом заключается и пропорциях теряет свою трудность. закон перманентности, который мы вы 23. Относительные (положительные яснили выше. и отрицательные) числа. Введение ирра Остается показать, что формальные за циональных чисел коны арифметических операций остаются лый ряд операций, сделало возможным це которые без того были в силе для всех арифметических чисел. невыполнимы. Можно сказать, что благо Мы не можем здесь на этом останавли даря введению иррациональных чисел, полу ваться; читатель, уяснивший себе сущ чили точное разрешение ность задачи, справится с этим сам. В об до того допускали лишь проблемы, которые приближенное ре ласти арифметических чисел все арифмети шение. Но оставалась операция, о разре ческие операции, которые выполняются для шении которой, казалось, не могло быть рациональных чисел (сложение, вычитание, речи по существу: это было вычитание когда уменьшаемое больше вычитаемого, большего числа из меньшего. В тесной свя умножение и деление, когда делитель отли решении линей чен от нуля), также выполняются и сле зи с этим стояла сзадача о неизвестной; эта ного уравнения одной дуют тем же формальным законам. Таков задача иногда допускала решение, иногда неизменный ход эволюции понятия о числе. такового не допускала; последнее имело Но в области всех арифметических чисел место в тех случаях, когда уравнение—по выполняется также большое число таких современной терминологии—имело отрица операций, которые в области рациональных тельный корень. Но проницательный глаз чисел остаются невыполнимыми. Самой математика усмотрел возможность выйти важной из этих операций является извлече из этого затруднения задолго до того, как ние корня. Пусть а будет какое угодно ариф сделалось возможным провести эту идею метическое число, а п—целое число. Если строго сознательно, чтобы не сказать — а есть рациональное число, то рациональ строго логически и научно. Правда, грече ное число х, удовлетворяющее уравнению ским геометрам, которме, как мы видели х — а, существует только в исключитель выше, построили глубоко продуманные уче ных случаях; если а есть иррациональное ния об иррациональных величинах, идея число, то такого числа х в области ра отрицательного числа была совершенно циональных чисел и искать невозможно. чужда. Даже Диофант, творец греческой Но в области всех арифметических чисел алгебры, обнаруживший столько проница такое число всегда существует. В самом тельности в решении сложных задач ариф деле, положим, что рационального чи метического характера, всегда подчиняет сла х* удовлетворяющего соотношению коэффициенты линейного уравнения таким х — а, не существует. Разобьем все рацио условиям, при которых оно имеет положи нальные числа на две категории, относя тельное решение, и квалифицирует как к первой всякое число xf, для которого dS-jvaxov (невозможное) всякое уравнение, У < а, а ко второй категории—всякое чис этим условиям не удовлетворяющее. Идея ло для которого х" > а. Ясно, что о положительных и отрицательных числах число второй категории больше всякого появляется прежде всего у индусов (Брахп п п п