* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

430' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 431' ла, связанные с открытыми сечениями (т.-е. не замыкаемыми рациональными чис­ лами), мы будем называть иррациональ­ ными. Комплекс арифметических чисел яв­ ляется, таким образом, более мощным, чем комплекс рациональных чисел; переход от рациональных чисел к комплексу арифме тыми. тических чисел представляет новый этап в Ряд рациональных чисел имеет, как мы деле эволюции понятия о числе. сказали, пробелы; эти пробелы в том и за­ Пусть (А, А') будет некоторое разомкну­ ключаются, что не существует чисел, ко­ тое сечение ряда рациональных чисел, ко­ торые замыкали бы открытые сечения; торое воспроизводит иррациональное чис­ и чтобы эти пробелы восполнить, чтобы ло а. Пусть а—рациональное число, при­ сделать ряд непрерывным, нужно ввести надлежащее группе А. Сравним числа а и новые числа, которые все открытые сече­ се, т.-е. постараемся определить, которое ния замыкают. В этом заключается идея из них больше. Чтобы воспользоваться Дедекинда. Он осуществляет ее следующим установленным выше критерием, иы долж­ образом. ны обратиться к тому сечен ию {А, А'), ко­ В области рациональных чисел, как мы торое производит число се. Так как а есть видели, возможно бесчисленное множество число рациональное, то это последнее се­ сечений. С каждым сечением будем соеди­ чение есть замкнутое: оно замыкается са­ нять новое понятие, графически — новый мим числом а, которое мы можем считать символ, который будем называть арифме­ наибольшим числом группы А. Так как тическим числом. Какое дать этим симво­ число а принадлежит группе А, которая не лам начертание, дело второстепенное; мы замкнута, то в последней имеются числа, будем этот символ выбирать в каждом слу­ превосходящие а. Иными словами, группа чае спорадически, в зависимости от сечения, А составляет часть группы А, а потому с которым он соединяется. а < а. Таким же образом докажем, что о > Й, Пусть теперь хну будут два арифме­ если а есть любое число группы А\ Итак, тических числа; первое образуется сече­ иррациональное число а, определяемое се­ нием (X X), второе — сечением (У, У); при чением (А, А% больше всякого (рациональ­ этом мы разумеем, что в группу X включе­ ного) числа группы А и меньше всякого ны меньшие, в группу X' - большие числа; числа группы А'; оно в этом смысле за­ то же относится к группам У и К'. Мо­ мыкает сечение {А, А'). Иррациональные жет случиться, что сечение (X, X') совпа­ числа таким образом заполняют все про­ дает с сечением (У, У); в таком случае мы белы в ряду рациональных чисел и делают будем говорить, что арифметическое чис­ его непрерывным. Мы говорили до сих ло х равно арифметическому числу у пор о сечениях в ряду рациональных чи­ (х=у). Если это не и еет места, то либо сел, но, если теперь таким же образом группа X содержит числа, которых нет в рассечь ряд всех арифметических чисел У, либо, наоборот, группа К содержит чис­ то такое сечение всегда замыкается ла, которых нет в Л; в первом случае мы арифметическим числом. В этом заклю­ будем говорить, что х > у, во втором что чается непрерывность ряда всех арифме­ х-Су. Очень легко показать, что постула­ тических чисел. Цель, которую себе поста­ ты сравнения при этих соглашениях удовле­ вил Дедекинд, достигнута. творены и что совокупность арифметических Теперь остается установить общие пра­ чисел этим путем преврашена в величину.— вила действий над арифметическими чис­ Каждое арифметическое число связано с не­ которым сечением. Если сечение (X, Х% про­ лами. Пусть {А, А') и (В, В') будут два изводящее арифм. число х, замыкается неко- сечения, производящие два арифметических числа а и Ъ. Пусть а будет произвольное т торым рациональным числом —, то мы бу- число группы А, $ — произвольное число п группы В. Теперь составим сечение (С, С% дем отождествлять х с рациональным чис¬ относя в группу С всякое число вида т . , т. a-f-p (т. е. всякое рациональное число, лом - (т.-е. будем считать х— —); иными представляющее собой сумму одного числа я II группы А и одного числа группы В), а словами, под символом х мы будем в этом также всякое другое рациональное число, т которое меньше какого-либо числа a-f^. случае разуметь рациональное число —. Таким же образом в группу С войдут все Вследствие этого соглашения комплекс рациональные числа, которые больше лю­ арифметических чисел содержит в себе все бого числа a - j - (!. Арифметическое число рациональные числа. Арифметические чис­ с, которое этим путем получается, т.-е. t влечение квадратного корня, мы можем по­ лучить неограниченный ряд приближенноменьших значений (квадраты их будут мень­ ше 2-х) и неограниченный ряд приближен­ но-больших значений (квадраты их будут больше 2-х). Такого рода сечения мы бу­ дем называть разомкнутыми, или откры­