* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

426' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 427' величины, выход был двоякий: либо нужно необходимости, по пути интуиции эти „чи­ было расширить числовую область, чтобы сла, не представляющие собою чисел", про­ получить числовой материал, с помощью никли во все сочинения по арифметике; с которого было бы возможно всякий отрезок развитием же анализа у Декарта, Лейбница, выражать числом (иначе говоря, с помощью Ньютона они получили совершенно прочное, которого можно было бы выразить числом утвердившееся место в науке. отношение любых двух отрезков), либо Таким образом, иррациональные числа, отказаться от выражения отрезков и других как все основные идеи математики, завое­ геометрических величин числами. Евклид вали себе место сначала без достаточного становится на вторую точку зрения. Он обоснования. Только в эпоху ревизионизма, делает это бессознательно, потому что идея в середине XIX ст., вопрос острогом обос­ расширения числовой области, идея ирра­ новании учения об иррациональном числе ционального числа, ему совершенно чужда; был поставлен на очередь и получил ис­ и благодаря атому в греческой геометрии черпывающее разрешение в работах Вейутверждается строгий принцип .geometriara ерштрасса (см.), Кантора и Дедекинда geometrice", о котором мы уже упоминали (см.). Система Дедекинда получила, благо­ выше. В главе, посвященной „Началам", даря значительно большей простоте и отчет­ говорилось, что теория пропорций, изложен­ ливости, исключительное распространениеная в V книге и по замыслу принадлежа­ Мы постараемся, поэтому, выяснить здесь щая Евдоксу, представляет собою одно из его идею. Свою систему Дедекинд изложил величайших творений греческого гения. По в мемуаре „Непрерывность и иррациональ­ существу, мы здесь имеем совершенно ные числа" ). Введение к отдельному изда­ строгую теорию иррациональных чисел; но нию этого небольшого, но замечательного, нужно отчетливое понимание существа во­ сочинения настолько освещает сущность и проса, чтобы это усмотреть в геометриче­ значение вопроса, что мы считаем нужным ском построении, в которое теория облечена. поместить здесь первые два абзаца целиком. Десятая книга, также чрезвычайно замеча­ „Рассуждения, составляющие предмет тельное построение тонкой геометрической этого маленького сочинения, относятся к мысли, содержит учение об иррациональных осени 1858 г. Тогда я, в качестве профес­ отрезках, построяемых по данным отрезкам сора Союзного политехникума в Цюрихе, циркулем и линейкой; выражаясь арифме­ в первый раз обязан был по своему поло­ тически, можно сказать, что эта книга со­ жению излагать элементы дифференциаль­ держит учение об иррациональных числах, ного исчисления и при этом чувствовал выражающихся через квадратные корни. живее чем когда-либо недостаток в действие Но метрическая геометрия, которая в при­ тельно научном обосновании арифметики^ ложениях имела наиболее важное, почти При изложении понятия о приближении! исключительное значение, неизбежно тре­ переменной величины к постоянному пре­ бовала арифметизации, введения числа для делу, и именно при доказательстве того по­ выражения результатов измерения, в том ложения, что величина, которая возрастает числе и иррациональных чисел для выра­ постоянно, но не сверх всяких границ» жения значений величины, несоизмеримых должна приближаться к некоторому преде­ с принятой единицей. Однако, как теория лу, я прибегал к геометрической нагляд­ пропорций (V книга), так и учение об ирра­ ности. Да и теперь я из дидактических циональных величинах (X кн.) у Евклида оснований считаю такое привлечение гео­ очень сложны и доступны только людям метрической наглядности при первом обу­ с очень развитой и тонкой логикой. Вслед­ чении дифференциальному исчислению не­ ствие этого учение об иррациональном числе обычайно полезным, даже неизбежным, если проложило себе в средние века иной путь. не хотят потратить слишком много времени. Иррациональные числа появляются в лите­ Но никто не станет отрицать того, что этот ратуре не только без достаточного обосно­ способ введения в изучение дифференциалы вания, но и без удовлетворительного опре­ ного исчисления не может иметь никакого деления. Ощупью, интуитивно их вводят притязания на научность." средневековые математики—арабские, италь­ „Во мне тогда это чувство неудовлетво­ янские, германские—то как „глухие числа" ренности преобладало в такой степени, что („пшпеп surdi", Леонард Пизанский), то я принял твердое решение думать до тех как „потенциальные числа" („numeri in ро- пор, пока не найду чисто арифметического tentia", Региомонтан), то как корни из и вполне строгого основания для начал рациональных чисел (преимущественно Лу­ анализа бесконечных. Говорят часто, что ка Пачиоли); Штифель, который вводит в первый раз термин „иррациональное чи­ сло", сопровождает это свое нововведение 1) „Stetigkeit imd IrrationaleZahlen", 1872. В1923 г; замечанием: irrationalis numerus поп est выпущено четвертое русское изд.: Дедекинд, „Не­ nuraerus". И вопреки всякой логике, в силу прерывность и иррациональные числа", Одесса, Матезнс. 1 e 4*