БЕЗ

БЕЗ ЗА́ДНИХ НОГ (СПАТЬ, ЛЕЖА́ТЬ, ДРЫ́ХНУТЬ и т. д.). Прост.

Не в состоянии двигаться от усталости, опьянения или болезни. Выражается крайняя степень изнеможения, невозможность пошевелиться.

Синонимы: мёртвым сном, мертве́цким сном, сном пра́ведника.

Захлопотавшиеся отцы лежали, как говорится, без задних ног. И.С.Тургенев. Не пришёл тоже и толстый подполковник, но оказалось, что он без «задних ног» ещё со вчерашнего утра. Ф. М. Достоевский. Весь день разгружали вагоны и вечером свалились без задних ног. ?

Оборот, очевидно, возник как результат наблюдений за поведением лошадей: после тяжёлого рабочего дня лошадь спит, расслабив задние ноги, и при попытке подняться задние ноги не будут её слушаться.