* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

96 другь оть друга но величине, но занимаюгъ вь мантиссахь одно и то же место. Дроби, различающаяся между собою цтлымъ числомъ, имъють все одну и ту же мантиссу: поэтому, для того, чтобы вычислить мантиссы вс^хъ дробей съ знаменатслсмъ //, достаточно разсмотрьть одне лишь н р а в и л ь н ы я д р о б и тп\ Докажемъ следующую теорему: Отличный д р у г ъ 01 ь друга правильны» д р о б и у и у' име­ ют ь р а з л и ч н ы я м а н т и с с ы ) . Для доказательства предположим!,, что у ' > у; найдем ь такое чи­ сло >\ чтобы , f i ю-(Г—т) > 1 (найти такое число ,\, всегда возможно: см. § 18.8) тогда получимъ, Y + ПОЛОЖИМ'!), что р J 4 Ю- (7) п ' \ 1 \"1 -7' •> s J п " \ 1 - г -' ч 2 *\ 3 л * тогда, какъ намь уже известно, Т > 8«, у' < 2 '> + ю— принимая во внимание неравенство (7), найдсмъ: ?/ : _|_ ю - ' > у' > у - | - 10- > 8, -\- 10 \ следовательно, о'« > 8«. Поэтому мантиссы / и / ' дробей у и у' отли­ чаются другъ оть друга, по крайней мере, въ >'-мъ десятичномъ знаке (если не въ которомъ-нибудь изъ предь1дущпхь). Дополним!, доказанную теорему другой, аналогичной: П е т ь т а к о й п р а в и л ь н о й д р о б и у, м а н т и с с а ла бы т о л ь к о и з ъ о д н е х ъ д е в я т о к ъ . Въ самомъ деле, при достаточно большом ь > мы найдемъ, что * 10.*, ( 1 — у ) > 1, следовательно, 1 р у - ) - 1 0 ' н a fortiori 1 j > 2 - | - 10 Если же все цыфры , , s были бы девятки, то мы нашли бы, что 2. - | - 1 0 — 1 . что противоречило бы предыдущему неравенству. Поэтому, уже s-ый десятичный знакь (если не который-нибудь изь предыдущих'ь) мантиссы дроби у представляетъ собой цифру, меньшую девяти. Ч > t х 1 v — я которой состоя­ 1 Г ) Это есть предложеше обратное тому, которое доказано въ § 25, 3.