* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

50 ГЛ. I. ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [4.4 4. Функцию называют асимптотически непрерывной в точке x , не являющейся концом отрезка [а, Ь, если существует множество Е с= [а, Ь], для которого точка дг 6 Е является точкой плотности и функция f(x) в точке х непрерывна по множеству Е. Аналогично определяется асимптотическая производная: функдифференцируемой в цию f(x) называют асимптотически точке х , если существует множество Е, для которого точка лг является точкой плотности и такое, что разностное отноше¬ &———— стремится к определенному пределу, когда ние X — XQ точка х стремится к х по множеству Е. Получающийся предел называют асимптотической (иногда аппроксимативной) про/ - (х). изводной и обозначают Асимптотическая производная является обобщением обычной, поскольку существуют примеры непрерывных функций, не имеющих обычной производной ни в одной точке отрезка, но асимптотически дифференцируемых почти всюду. Всякая измеримая функция асимптотически непрефункция, рывна почти всюду, как и, наоборот, всякая асимптотически непрерывная почти всюду, измерима. Однако асимптотическая производная может не существовать и на множестве положительной меры, В точках, где не существует асимптотической производной, можно рассматривать асимптотические производные числа, аналогичные производным числам Дини. Для них имеет место теорема, аналогичная теореме Данжуа. Асимптотические производные высших порядков определяются обычной индукцией. Наряду с асимптотическими производными в теории рядов используется понятие симметричной производной, которое также обобщает понятие обычной производной. Симметричной производной или производной Шварца называют предел Q 0 0 0 0 1 0 1 п отношения / ( о + ) х п ~~ ) h П р ft _> о. Вторую симметричИ ную производную можно определить непосредственно как J v предел при h-+0 отношения ^ , причем предел можно рассматривать как в обычном, так и в асимптотическом смысле. Симметричная производная обладает рядом свойств, аналогичных свойствам обычной производной.